Calcular as integrais definidas
integral-pi / 2^pi / 2 sen(5 x) cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-pi/2^pi/2sen(5x)cos(3x),dx
O conteúdo é integração de funções trigonométricas e podemos usar a identidade de produto para soma para simplificar.

Passo 2

Usamos a identidade
sen(A)cos(B)=tfrac12l[sen(A+B)+sen(A-B)r]
Aqui A=5x e B=3x, logo
sen(5x)cos(3x) =tfrac12l[sen(8x)+sen(2x)r]

Passo 3

Substituindo na integral e separando, temos
integral-pi/2^pi/2sen(5x)cos(3x),dx =tfrac12integral-pi/2^pi/2sen(8x),dx +tfrac12integral-pi/2^pi/2sen(2x),dx

Passo 4

Calculamos as antiderivadas:
integralsen(8x),dx=-cos(8x)8, integralsen(2x),dx=-cos(2x)2

Passo 5

Avaliaremos cada termo de -pi/2 a pi/2:
  1. Para sen(8x):
tfrac12l[-tfraccos(8x)8r]-pi/2^pi/2 =-tfrac116l[cos(4pi)-cos(-4pi)r] =-tfrac116(1-1)=0
  1. Para sen(2x):
tfrac12l[-tfraccos(2x)2r]-pi/2^pi/2 =-tfrac14l[cos(pi)-cos(-pi)r] =-tfrac14(-1-(-1))=0
Somando, a integral total é 0+0=0.

Resposta

0

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