Calcular as integrais definidas
integral1^2 x^3+2 x^2+x+4(x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2x^3+2x^2+x+4(x+1)^2,dx
Isso é um caso de integração de função racional onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. A estratégia é usar divisão de polinômios para decompor a fração em termos mais simples que possamos integrar facilmente.

Passo 2

Fazemos a divisão de
x^3+2x^2+x+4(x+1)^2
por um quociente da forma ax+b e um resto de grau menor que 2. Supondo
x^3+2x^2+x+4 = (ax+b)(x+1)^2 + R(x),
e comparando coeficientes, obtemos a=1, b=0 e resto R(x)=4. Logo,
x^3+2x^2+x+4(x+1)^2 = x + 4(x+1)^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integral1^2x,dx = l[tfrac12x^2r]1^2 = 12(4-1) = 32,
integral1^24(x+1)^2,dx =4integral1^2(x+1)^-2,dx =4l[-(x+1)^-1r]1^2 =-4l(13-12r) =-4l(-16r) =23
Somando as duas parcelas,
integral1^2x^3+2x^2+x+4(x+1)^2,dx = 32 + 23 = 9+46 = 136

Resposta

136

Exercícios relacionados