Calcular as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo integral que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos escolher:
Isso significa que
é a raiz quadrada de
. Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Observe que
e
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
A integral ficou muito mais simples agora!
Passo 6
Calculando a integral:
Onde
é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos dela.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
:
Passo 8
Aplicando os limites de integração. Primeiro, calculamos
e
:
Então, avaliamos a expressão entre esses limites:
Resposta
A integral definida é igual a: