Calcular as integrais definidas:
integral1^4 3 sin raiz2 xraiz2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^4 3 sin raiz2xraiz2x , dx. Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo integral que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do seno. Vamos escolher:
u = raiz2x
Isso significa que u é a raiz quadrada de 2x. Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Calculando du:
u = raiz2x Rightarrow u^2 = 2x
Derivando ambos os lados em relação a x:
2u cdot dudx = 2 Rightarrow dudx = 22u = 1u
Portanto:
dx = u , du

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral1^4 3 sin raiz2xraiz2x , dx = integralu(1)^u(4) 3 sin uu cdot u , du
Observe que raiz2x = u e dx = u , du.

Passo 5

Simplificando a expressão:
integralu(1)^u(4) 3 sin u , du
A integral ficou muito mais simples agora!

Passo 6

Calculando a integral:
integral 3 sin u , du = -3 cos u + C
Onde C é a constante de integração, mas como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos dela.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original x:
-3 cos u = -3 cos(raiz2x)

Passo 8

Aplicando os limites de integração. Primeiro, calculamos u(1) e u(4):
u(1) = raiz2 times 1 = raiz2
u(4) = raiz2 times 4 = raiz8 = 2raiz2
Então, avaliamos a expressão entre esses limites:
-3 cos(2raiz2) - (-3 cos(raiz2)) = 3 cos(raiz2) - 3 cos(2raiz2)

Resposta

A integral definida é igual a:
3 cos(raiz2) - 3 cos(2raiz2)

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