Determine a integral
na forma de uma fração irredutível
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral definida
. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente aprende a encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = 2 - x $. Isso significa que $ du = -dx $ ou seja, $ dx = -du $.
Passo 3
Agora, precisamos mudar os limites de integração de $ x $ para $ u $. Quando $ x = 1 $, $ u = 2 - 1 = 1 $. Quando $ x = 2 $, $ u = 2 - 2 = 0 $. Então, a integral passa de:
para
O sinal negativo vai inverter os limites de integração:
Passo 4
Vamos expandir $ (2 - u)^{2} $:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
A integral agora está dividida em três partes que a gente pode integrar separadamente:
Passo 6
Vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que a integral de $ u^{n} $ de 0 a 1 é $ \frac{1}{n+1} $:
- $ 4 \int_{0}^{1} u^{1/2} , du = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $
- $ -4 \int_{0}^{1} u^{3/2} , du = -4 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{8}{5} $
- $ \int_{0}^{1} u^{5/2} , du = \frac{2}{7} $
Passo 7
Agora, somamos esses resultados:
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum de 3, 5 e 7 é 105.
Convertendo cada fração:
Então:
Resposta
$ a = 142 $
$ b = 105 $