Determine a integral integral1^2 x^2 raiz2-x d x na forma de uma fração irredutível ab.
a=
b=

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral definida integral1^2 x^2 raiz2-x , dx. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente aprende a encontrar a área sob uma curva entre dois pontos. Pra resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = 2 - x $. Isso significa que $ du = -dx $ ou seja, $ dx = -du $.

Passo 3

Agora, precisamos mudar os limites de integração de $ x $ para $ u $. Quando $ x = 1 $, $ u = 2 - 1 = 1 $. Quando $ x = 2 $, $ u = 2 - 2 = 0 $. Então, a integral passa de:
x
para
u
O sinal negativo vai inverter os limites de integração:
x = 1

Passo 4

Vamos expandir $ (2 - u)^{2} $:
(2 - u)^2
Substituindo de volta na integral:
(2 - u)^2 = 4 - 4u + u^2

Passo 5

A integral agora está dividida em três partes que a gente pode integrar separadamente:
4 integral0^1 u^1/2 , du - 4 integral0^1 u^3/2 , du + integral0^1 u^5/2 , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo individualmente. Lembrando que a integral de $ u^{n} $ de 0 a 1 é $ \frac{1}{n+1} $:
  1. $ 4 \int_{0}^{1} u^{1/2} , du = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $
  2. $ -4 \int_{0}^{1} u^{3/2} , du = -4 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{8}{5} $
  3. $ \int_{0}^{1} u^{5/2} , du = \frac{2}{7} $

Passo 7

Agora, somamos esses resultados:
83 - 85 + 27
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O menor múltiplo comum de 3, 5 e 7 é 105.
Convertendo cada fração:
83 = 280105, 85 = 168105, 27 = 30105
Então:
280105 - 168105 + 30105 = 142105

Resposta

$ a = 142 $
$ b = 105 $

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