Determinar o volume do sólido obtido pela revolução da região plana limitada pela curva
, o eixo x e a retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela curva $ y = \frac{1}{4}x^{2} $, pelo eixo $ x $, e pelas retas $ x = 2 $ e $ x = 5 $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para calcular volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo $ x $. Imagina que a curva $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ está desenhada no plano cartesiano, e você corta essa área limitada pelas retas $ x = 2 $ e $ x = 5 $ e pelo eixo $ x $. Ao girar essa região, você vai formar um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A ideia é dividir o sólido em pequenos discos (circulinhos) perpendiculares ao eixo $ x $, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde $ f(x) $ é a função que descreve a borda do sólido, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.
Passo 4
No nosso caso, a função que descreve a borda é $ y = \frac{1}{4}x^{2} $. Assim, o raio de cada disco é $ \frac{1}{4}x^{2} $. Vamos substituir isso na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Podemos tirar a constante $ \frac{1}{16} $ para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de $ x^{4} $:
Como estamos fazendo uma integral definida entre 2 e 5, o $ C $ não precisa ser considerado. Então:
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão do volume:
Fazendo a multiplicação:
Resposta
O volume do sólido obtido pela revolução da região dada é $ V = 38,!6625,\pi $ unidades cúbicas.