Determinar o volume do sólido obtido pela revolução da região plana limitada pela curva y=14 x^2, o eixo x e a retas x=2 e x=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela curva $ y = \frac{1}{4}x^{2} $, pelo eixo $ x $, e pelas retas $ x = 2 $ e $ x = 5 $ em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente o método dos discos, que é ótimo para calcular volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar essa região em torno do eixo $ x $. Imagina que a curva $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ está desenhada no plano cartesiano, e você corta essa área limitada pelas retas $ x = 2 $ e $ x = 5 $ e pelo eixo $ x $. Ao girar essa região, você vai formar um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. A ideia é dividir o sólido em pequenos discos (circulinhos) perpendiculares ao eixo $ x $, calcular o volume de cada disco e somar todos esses volumes. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
x
onde $ f(x) $ é a função que descreve a borda do sólido, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

No nosso caso, a função que descreve a borda é $ y = \frac{1}{4}x^{2} $. Assim, o raio de cada disco é $ \frac{1}{4}x^{2} $. Vamos substituir isso na fórmula:
y = 14x^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(14x^2)^2 = 116x^4
Então, a integral fica:
V = pi integral2^5 116x^4 dx
Podemos tirar a constante $ \frac{1}{16} $ para fora da integral:
116

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de $ x^{4} $:
x^4
Como estamos fazendo uma integral definida entre 2 e 5, o $ C $ não precisa ser considerado. Então:
integral x^4 dx = x^55 + C
Calculando os valores:
C
integral2^5 x^4 dx = [ x^55 ]2^5 = 5^55 - 2^55
Então:
5^55 = 31255 = 625

Passo 7

Voltando à expressão do volume:
V = pi16 times 618,6
Fazendo a multiplicação:
V = 618,616 pi = 38,6625 pi

Resposta

O volume do sólido obtido pela revolução da região dada é $ V = 38,!6625,\pi $ unidades cúbicas.

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