Calcular as integrais definidas
integral3^5 5 x-20(2-x)(x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral3^5 5x - 20(2 - x),(x^2 + 1),dx
Este é um problema de integração de funções racionais, que vamos resolver por decomposição em frações parciais e depois usar integrais conhecidas de ln e arctan.

Passo 2

Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes a dá o sistema
Dessa forma e , logo . Assim

Passo 3

Reescrevendo a integral com as frações parciais:
integral3^55x - 20(2 - x)(x^2+1),dx =integral3^5l(-22 - x + -2x - 9x^2+1r),dx
Separamos em três integrais:
I = -2integral3^5dx2 - x - integral3^52xx^2+1,dx -9integral3^5dxx^2+1

Passo 4

Calculamos antiderivadas:
  1. integraldx2 - x = -lnlvert 2 - xrvert.
  2. integral2xx^2+1,dx = ln(x^2+1).
  3. integraldxx^2+1 = arctan x.
Logo um primitivo é
F(x) = -2l(-lnlvert2 - xrvertr) - ln(x^2+1) -9,arctan x =2lnlvert2 - xrvert - ln(x^2+1) -9arctan x
Avaliaremos F(5) - F(3).

Passo 5

Calculando em x=5:
F(5)=2lnlvert2 - 5rvert - ln(26) -9arctan(5) =2ln(3) - ln(26) -9arctan(5)
Em x=3:
F(3)=2lnlvert2 - 3rvert - ln(10) -9arctan(3) =0 - ln(10) -9arctan(3)
Então
I = F(5)-F(3) =2ln(3)-ln(26)-9arctan(5) + ln(10)+9arctan(3)
Reunindo logs:
2ln(3)+ln(10)-ln(26) =ln9cdot1026 =ln4513
E agrupando os arctan,
9arctan(3)-9arctan(5) =9l(arctan(3)-arctan(5)r) = -9,arctan!l(tfrac18r)

Resposta

integral3^5 5x - 20(2 - x),(x^2+1),dx =ln4513 ;-;9,arctan!l(tfrac18r)

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