Calcular as integrais definidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Este é um problema de integração de funções racionais, que vamos resolver por decomposição em frações parciais e depois usar integrais conhecidas de
e
.
Passo 2
Fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes a
dá o sistema
Dessa forma e
, logo
. Assim
Passo 3
Reescrevendo a integral com as frações parciais:
Separamos em três integrais:
Passo 4
Calculamos antiderivadas:
-
.integraldx2 - x = -lnlvert 2 - xrvert -
.integral2xx^2+1,dx = ln(x^2+1) -
.integraldxx^2+1 = arctan x
Logo um primitivo é
Avaliaremos
F(5) - F(3) .
Passo 5
Calculando em
x=5 :
Em
x=3 :
Então
Reunindo logs:
E agrupando os arctan,