Calcular as integrais definidas
integral0^2|(x-1)(3 x1)| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2l|(x-1)(3x-1)r|,dx
Este problema cai em “integração de valor absoluto”: precisamos achar onde o polinômio interno zera, determinar o sinal em cada intervalo, e depois integrar o polinômio com ou sem o sinal negativo, conforme o caso.

Passo 2

Encontramos as raízes de (x-1)(3x-1)=0, que são x=tfrac13 e x=1. Sobre o intervalo [0,2] temos três subintervalos:
0) em 0<= x<tfrac13, (x-1)<0 e (3x-1)<0 Rightarrow produto positivo;
1) em tfrac13<x<1, (x-1)<0 e (3x-1)>0 Rightarrow produto negativo;
2) em 1<x<=2, (x-1)>0 e (3x-1)>0 Rightarrow produto positivo.
Logo
l|(x-1)(3x-1)r|= (x-1)(3x-1),&0<= x<=tfrac13, -,(x-1)(3x-1),&tfrac13<= x<=1, (x-1)(3x-1),&1<= x<=2

Passo 3

Calcular integral0^1/3(x-1)(3x-1),dx. Primeiro expandimos
(x-1)(3x-1)=3x^2-4x+1
e obtemos a primitiva
F(x)=integral(3x^2-4x+1),dx=x^3-2x^2+x
Assim
integral0^1/3(3x^2-4x+1),dx =Fl(tfrac13r)-F(0) =l(tfrac127-tfrac29+tfrac13r)-0 =427

Passo 4

Calcular integral1/3^1-l(3x^2-4x+1r),dx. Uma primitiva de -3x^2+4x-1 é
G(x)=integral(-3x^2+4x-1),dx=-x^3+2x^2-x
Então
integral1/3^1(-3x^2+4x-1),dx =G(1)-Gl(tfrac13r) =l(0r)-l(-tfrac127+tfrac29-tfrac13r) =+427

Passo 5

Calcular integral1^2(x-1)(3x-1),dx. Usamos a mesma primitiva F(x)=x^3-2x^2+x, logo
integral1^2(3x^2-4x+1),dx =F(2)-F(1) =l(8-8+2r)-l(1-2+1r) =2-0 =2

Passo 6

Somando as três partes temos
integral0^2l|(x-1)(3x-1)r|,dx =427+427+2 =2+827 =54+827 =6227

Resposta

6227

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