Determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
6. x d xd t+t^2 x=sen t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x,dxdt + t^2,x = sen t
e pede para decidir se ela é separável, linear, nenhuma ou ambas. Para isso vamos lembrar:
  • Uma EDO é linear em x se puder ser escrita como
dxdt + p(t),x = q(t)
com p e q funções de t apenas.
  • É separável se puder escrever
dxdt = F(t),G(x)
isto é, como produto de uma função só de t por outra só de x.

Passo 2

Vamos primeiro testar linearidade. Dividindo a equação original por x (assumindo xneq0), obtemos
dxdt + t^2 = sen tx
Para ser linear em x, o termo à direita deveria ser apenas uma função de t, mas aqui temos sen t/x, que depende de x. Logo não é uma equação linear em x.

Passo 3

Agora testamos separabilidade. A forma geral seria
dxdt = F(t),G(x)
Reescrevendo nossa equação como
dxdt = sen tx ;-; t^2,
vemos que a soma de sen t/x e -t^2 não se fatoriza em produto de uma função só de t por outra só de x. Portanto não é separável.

Resposta

Nenhuma (não é linear nem separável).

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