Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \operatorname{sen} 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. Nesta técnica, escolhemos u e dv de modo que a integral de v\,du seja mais simples. A fórmula principal é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x \qquad\text{e}\qquad dv = \operatorname{sen}(5x)\,dx.
Então
du = dx \qquad\text{e}\qquad v = \int \operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x).

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = u\,v - \int v\,du = x\!\biggl(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)\biggr) - \int \Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)\Bigr)\,dx.
Isso simplifica para
-\frac{x}{5}\cos(5x) +\frac{1}{5}\int \cos(5x)\,dx.
Agora integramos o termo restante:
\int \cos(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x).

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
\int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x}{5}\cos(5x) +\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\sin(5x) + C = -\frac{x}{5}\cos(5x) +\frac{1}{25}\sin(5x) + C.

Resposta

\boxed{ \int x\,\operatorname{sen}(5x)\,dx = -\frac{x}{5}\cos(5x) +\frac{1}{25}\sin(5x) + C }.

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