Determinar a derivada das funções paramétricas:
f(t)=\left{ \begin{array}{l}x=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}+1 \\ y=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}+1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
x(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}+1,\quad y(t)=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}+1
e pede a derivada dy/dx.
Conteúdo: derivadas de funções paramétricas. Vamos usar
\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Passo 2

Calcular \frac{dx}{dt}. Como
x(t)=\operatorname{sinh} t+1,\quad\text{onde }\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2},
temos
\frac{dx}{dt}=\operatorname{cosh} t
pois \frac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t e a constante 1 some.

Passo 3

Calcular \frac{dy}{dt}. Como
y(t)=\operatorname{cosh} t+1,\quad\text{onde }\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2},
temos
\frac{dy}{dt}=\operatorname{sinh} t
pois \frac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t e a constante 1 some.

Passo 4

Aplicar a fórmula da derivada paramétrica:
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t} =\operatorname{tanh} t.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\operatorname{tanh} t.

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