calcular as integrais indefinidas.
integral d t(n-1 / 2) r^n, onde n in Z.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral drl(n-tfrac12r),r^n,
onde ninZ é parâmetro constante. Para resolver vamos usar a fatoração de constantes e a fórmula de potência
integral r^a,dr = r^a+1a+1 + C(para aneq -1),
além de tratar separadamente o caso em que a=-1.

Passo 2

Fatoramos a constante tfrac1n-tfrac12:
integral dr(n-tfrac12),r^n = 1n-tfrac12,integral r^-n,dr

Passo 3

Se nneq1, o expoente de r é -nneq-1, então
integral r^-n,dr = r^-n+1-n+1 + C = r^1-n1-n+C
Multiplicando pela constante, obtemos
integral dr(n-tfrac12),r^n = r^1-n(n-tfrac12),(1-n) + C

Passo 4

No caso especial n=1 temos
11-tfrac12,r^-1 = 2,r^-1,
de modo que
integral 2,r^-1,dr = 2lnlvert rrvert + C

Resposta

Para nneq1:
boxedintegral dr(n-tfrac12),r^n = r^1-n(n-tfrac12),(1-n) + C
Para n=1:
boxedintegral dr(,1-tfrac12),r =2lnlvert rrvert + C

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