Seja f(x, y)=ll2 x y3 x^2+5 y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0). Calcular partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2xy3x^2+5y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Pede-se as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Para (x,y)neq(0,0) usaremos a regra do quociente, e no ponto (0,0) usaremos a definição via limite.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=2xy, h(x,y)=3x^2+5y^2,
de modo que f=g/h. Então
partial fpartial x =partial g/partial xcdot h - gcdotpartial h/partial xh^2
Como partial g/partial x=2y e partial h/partial x=6x, segue
partial fpartial x =2y,(3x^2+5y^2)-2xy,(6x)(3x^2+5y^2)^2

Passo 3

No numerador temos
2y(3x^2+5y^2)-12x^2y =6x^2y+10y^3-12x^2y =10y^3-6x^2y =2y(5y^2-3x^2)
Logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x =2y(5y^2-3x^2)(3x^2+5y^2)^2

Passo 4

Analogamente, usando partial g/partial y=2x e partial h/partial y=10y,
partial fpartial y =2x,(3x^2+5y^2)-2xy,(10y)(3x^2+5y^2)^2 =6x^3+10xy^2-20xy^2(3x^2+5y^2)^2 =6x^3-10xy^2(3x^2+5y^2)^2 =2x(3x^2-5y^2)(3x^2+5y^2)^2

Passo 5

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Resposta

partial fpartial x(x,y)= dfrac2y(5y^2-3x^2)(3x^2+5y^2)^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
partial fpartial y(x,y)= dfrac2x(3x^2-5y^2)(3x^2+5y^2)^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)

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