Determine o valor de cada integral abaixo (Se fizer sentido, calcule com a ordem invertida dos limites de integração):
integral-1^2 integral0^3 x^2 e^2 x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-1^2integral0^3 x^2e^2xy,dy,dx
que envolve integração em y seguida de integração em x. Vamos primeiro integrar em y, e depois em x, usando integração por partes quando necessário.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^3 x^2e^2xy,dy
Como x é constante em relação a y, podemos fatorar x^2 e usar
integral e^2xy,dy = e^2xy2x(xneq0)
Logo,
integral0^3 x^2e^2xy,dy = x^2[e^2xy2x]y=0^y=3 = x2l(e^6x-1r)
Para x=0 a integral vale 0 diretamente, e o resultado tfracx2(e^6x-1) tem extensão contínua em x=0.

Passo 3

Agora a integral em x fica
integral-1^2x2l(e^6x-1r),dx = 12integral-1^2x e^6x,dx ;-;12integral-1^2x,dx

Passo 4

Calcular integral x e^6x,dx por partes:
escolha u = x, dv = e^6x,dx. Então du=dx e v=tfrace^6x6. Assim,
integral x e^6x,dx = xe^6x6 - integral e^6x6,dx = x e^6x6 - e^6x36

Passo 5

Avaliar as integrais definidas de x=-1 a x=2:
  1. Para 12integral-1^2x e^6x,dx:
12l[x e^6x6-e^6x36r]-1^2 =12cdot11e^12+7e^-636 =11e^12+7e^-672
  1. Para -12integral-1^2x,dx:
-12l[x^22r]-1^2 =-12cdot32 =-34 =-5472
Somando os dois resultados obtemos
11e^12+7e^-672-5472 =11e^12+7e^-6-5472

Resposta

integral-1^2integral0^3 x^2e^2xy,dy,dx =11e^12+7e^-6-5472

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