Verificar se a função z=ell n(x y)+x+y satisfaz a equação x partial fpartial x-y partial fpartial y=x-y.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
z = ln(xy) + x + y
satisfaz a equação
x partial fpartial x - y partial fpartial y = x - y
Vamos precisar calcular as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y e depois substituir na equação.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=ln(xy)+x+y.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x = partialpartial xl[ln(xy)r] + partialpartial x[x] + partialpartial x[y] = 1x + 1 + 0 = 1x + 1
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y = partialpartial yl[ln(xy)r] + partialpartial y[x] + partialpartial y[y] = 1y + 0 + 1 = 1y + 1

Passo 3

Substituir na expressão x,fx - y,fy:
xl(1x+1r) - yl(1y+1r) = l(1 + xr) - l(1 + yr) = x - y

Passo 4

Como a expressão obtida coincide exatamente com x - y, concluímos que a função satisfaz a equação proposta.

Resposta

A função z=ln(xy)+x+y satisfaz
x partial fpartial x - y partial fpartial y = x - y

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