calcular as integrais indefinidas.
integral raiz[3]8(t-2)(t+12)^3 d t

Passo 1

Aqui vamos calcular a integral indefinida
integral raiz[3]8,(t-2),l(t+tfrac12r)^3,dt.
O conteúdo é integração de funções com raiz cúbica e produtos; vamos simplificar potências e usar substituição.

Passo 2

Note que raiz[3]8=2 e
raiz[3]l(t+tfrac12r)^3=t+tfrac12.
Assim a integrando vira
2,(t-2)^13,l(t+tfrac12r)
Multiplicando 2 em t+tfrac12 obtemos
(2t+1),(t-2)^13

Passo 3

Fazemos a substituição
u = t-2, du = dt, t = u+2
Então 2t+1 = 2(u+2)+1 = 2u+5 e a integral passa a ser
integral (2u+5),u^13,du = integral l(2u^43+5u^13r),du

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra de potência:
integral 2u^43,du = 2;u^73tfrac73 = 67,u^73, integral 5u^13,du = 5;u^43tfrac43 = 154,u^43
Somando e incluindo a constante C, obtemos
67u^73 ;+;154u^43 ;+;C

Passo 5

Voltando para t (onde u=t-2), a antiderivada fica
67,(t-2)^73 ;+; 154,(t-2)^43 ;+;C

Resposta

67,(t-2)^73 ;+; 154,(t-2)^43 ;+;C

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