Questão 3 (1 pontos). Determine se a função a seguir é diferenciável
Em seguida encontre uma equação para o plano tangente e para a reta normal à superfície dada pela equação no ponto .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (1) verificar se ela é diferenciável no ponto , (2) encontrar a equação do plano tangente e (3) a reta normal à superfície nesse ponto. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e reta normal a superfícies.
Passo 2
Para que seja diferenciável em basta que as derivadas parciais existam e sejam contínuas numa vizinhança de . A única singularidade de ocorre em . Como , ambas derivadas parciais existem e são contínuas em torno de . Logo é diferenciável em .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais por regras de cadeia e quociente. Defina . Então
Temos
Passo 4
Avaliar em . Como e ,
Também .
Passo 5
A equação do plano tangente a em é
Substituindo, obtemos
Passo 6
O vetor normal ao plano tangente é .
A reta normal passa por e tem esse vetor direção. Em forma paramétrica: