Questão 3 (1 pontos). Determine se a função a seguir é diferenciável
z=y+sen(x / y)
Em seguida encontre uma equação para o plano tangente e para a reta normal à superfície dada pela equação no ponto (x0, y0)=(0,3).

Passo 1

O enunciado dá a função
z = y + sen!l(tfracxyr)
e pede (1) verificar se ela é diferenciável no ponto (x0,y0)=(0,3), (2) encontrar a equação do plano tangente e (3) a reta normal à superfície nesse ponto. O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais, diferenciabilidade, plano tangente e reta normal a superfícies.

Passo 2

Para que z=f(x,y) seja diferenciável em (x0,y0) basta que as derivadas parciais existam e sejam contínuas numa vizinhança de (x0,y0). A única singularidade de sen(x/y) ocorre em y=0. Como y0=3neq0, ambas derivadas parciais existem e são contínuas em torno de (0,3). Logo f é diferenciável em (0,3).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais por regras de cadeia e quociente. Defina u(x,y)=x/y. Então
f(x,y)=y+sen!l(u(x,y)r)
Temos
partial fpartial x =cos!l(ur),partial upartial x =cosl(tfracxyr),1y,
partial fpartial y =1+cos!l(ur),partial upartial y =1+cosl(tfracxyr),l(-xy^2r)

Passo 4

Avaliar em (x0,y0)=(0,3). Como cos(0)=1 e x0=0,
fx(0,3)=13, fy(0,3)=1+1cdotl(-09r)=1
Também f(0,3)=3+sen(0)=3.

Passo 5

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (0,3,3) é
z - f(0,3) = fx(0,3),(x-0) + fy(0,3),(y-3)
Substituindo, obtemos
z - 3 = 13,x + 1,(y-3)

Passo 6

O vetor normal ao plano tangente é
l(fx(0,3),,fy(0,3),,-1r)=(tfrac13,1,-1).
A reta normal passa por (0,3,3) e tem esse vetor direção. Em forma paramétrica:
x = 0 + tfrac13,t, y = 3 + t, z = 3 - t

Resposta

Plano tangente:
z - 3 = 13,x + (y - 3)
Reta normal (parâmetros tinR):
x = tfrac13,t, y = 3 + t, z = 3 - t

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