Questão 4 (1 ponto). Se
, determine a taxa de variação de
no ponto
na direção de
ao ponto
. Em que direção
tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– a taxa de variação de em
na direção de
(isto é, a derivada direcional);
– em que direção cresce mais rápido;
– qual é essa taxa máxima de variação.
Conteúdo usado: gradiente e definição de derivada direcional.
– a taxa de variação de
– em que direção
– qual é essa taxa máxima de variação.
Conteúdo usado: gradiente e definição de derivada direcional.
Passo 2
Para achar o gradiente
, calculemos as derivadas parciais:
Em
temos
, então
Logo
Passo 3
A direção de
para
é dada pelo vetor
O vetor unitário é
A derivada direcional é
Passo 4
A direção de máxima taxa de variação é a do gradiente
. O vetor unitário nessa direção é
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente:
Resposta
A taxa de variação de
em
na direção de
é
.
A direção de máxima taxa de variação é o vetor unitário .
A máxima taxa de variação é .
A direção de máxima taxa de variação é o vetor unitário
A máxima taxa de variação é