Questão 4 (1 ponto). Se f(x, y)=raizx y, determine a taxa de variação de f no ponto P=(2,8) na direção de P ao ponto Q=(5,4). Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=raizx,y
e pede:
– a taxa de variação de f em P=(2,8) na direção de Pto Q=(5,4) (isto é, a derivada direcional);
– em que direção f cresce mais rápido;
– qual é essa taxa máxima de variação.
Conteúdo usado: gradiente e definição de derivada direcional.

Passo 2

Para achar o gradiente nabla f, calculemos as derivadas parciais:
partial fpartial x =12(x y)^-tfrac12,y =y2raizx y, partial fpartial y =x2raizx y
Em P=(2,8) temos raiz2cdot8=4, então
partial fpartial x(2,8) =82cdot4=1, partial fpartial y(2,8) =22cdot4=14
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nabla f(2,8)=(1,tfrac14)

Passo 3

A direção de P para Q é dada pelo vetor
vec v=Q-P=(5-2,;4-8)=(3,-4)
O vetor unitário é
u=vec v|vec v| =(3,-4)raiz3^2+(-4)^2 =l(tfrac35,-tfrac45r)
A derivada direcional é
D uf(2,8) =nabla f(2,8)cdot u =(1,tfrac14)cdotl(tfrac35,-tfrac45r) =35-15 =25

Passo 4

A direção de máxima taxa de variação é a do gradiente nabla f(2,8)=(1,tfrac14). O vetor unitário nessa direção é
nabla f(2,8)|nabla f(2,8)| =(1,tfrac14)raiz1^2+(tfrac14)^2 =l(tfrac4raiz17,;tfrac1raiz17r)
A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente:
|nabla f(2,8)| =raiz1+l(tfrac14r)^2 =raiz174

Resposta

A taxa de variação de f em P na direção de Pto Q é tfrac25.
A direção de máxima taxa de variação é o vetor unitário l(tfrac4raiz17,tfrac1raiz17r).
A máxima taxa de variação é tfracraiz174.

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