Verificar se
é contínua em
(0,0) .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é contínua em
(0,0) . O conteúdo é limite de função de duas variáveis e a ideia é ver se
existe e coincide com
f(0,0)=0 .]
Passo 2
Lembrando a definição,
f é contínua em
(0,0) se, e somente se,
Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas “trajetórias” para
(x,y)to(0,0) que deem valores diferentes para
f(x,y) .
Passo 3
Escolhemos aproximar por linhas do tipo
y=kx com
k constante. Substituindo em
f para
(x,y)neq(0,0) ,
À medida que
xto0 , não há mais dependência de
x , então
Esse valor varia com
k .
Passo 4
Por exemplo, para
k=1 (reta
y=x ) temos
e para
k=-1 (reta
y=-x ):
Como esses dois limites são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
A função
f não é contínua em
(0,0) porque
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.