Verificar se f(x, y)=ll2 x yx^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac2xyx^2+y^2, & (x,y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e a ideia é ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e coincide com f(0,0)=0.]

Passo 2

Lembrando a definição, f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Para mostrar que o limite não existe, basta encontrar duas “trajetórias” para (x,y)to(0,0) que deem valores diferentes para f(x,y).

Passo 3

Escolhemos aproximar por linhas do tipo y=kx com k constante. Substituindo em f para (x,y)neq(0,0),
f(x,kx) =2x,(kx)x^2+(kx)^2 =2k,x^2x^2(1+k^2) =2k1+k^2
À medida que xto0, não há mais dependência de x, então
limxto0f(x,kx)=2k1+k^2
Esse valor varia com k.

Passo 4

Por exemplo, para k=1 (reta y=x) temos
lim(x,x)to(0,0)f(x,x)=2cdot11+1^2=1,
e para k=-1 (reta y=-x):
lim(x,-x)to(0,0)f(x,-x)=2cdot(-1)1+(-1)^2=-1
Como esses dois limites são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

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