Calcular as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o círculo de raio
centrado na origem. Assumirei a orientação padrão (positiva), isto é, no sentido anti-horário. Informações importantes que o enunciado dá:
- A função integranda é
. - O ponto
está no interior da curva (pois ). - A função
é inteira (analítica em toda parte), então a única singularidade da integranda dentro de vem do fator em .
Passo 2
Vamos usar uma ferramenta central em análise complexa: a Fórmula Integral de Cauchy. Vou explicar ela passo a passo.
Enunciado da Fórmula Integral de Cauchy (versão útil aqui).
Se é uma função analítica em uma vizinhança fechada de um ponto
e
é uma curva fechada simples e orientada positivamente que envolve
, então
Se
Explicando as letras:
-
é uma função analítica (sem singulares) na região considerada; -
é um ponto interior à curva ; -
é percorrida no sentido anti-horário; - O resultado é
vezes o valor de em .
Aplicando à nossa integral: escolhemos
(que é analítica em toda parte) e
. Então
Pronto — método direto e rápido.
Passo 3
Agora faço pelo outro método clássico (expansão em série / resíduo) para reforçar o entendimento e mostrar uma alternativa que funciona em muitos exercícios.
Conceito de resíduo e Teorema dos Resíduos (versão curta).
Se uma função tem uma expansão de Laurent em torno de ,
Se uma função tem uma expansão de Laurent em torno de
então o coeficiente
é chamado de resíduo de
em
, denotado
. O Teorema dos Resíduos diz que, para uma curva
que engloba singulares isoladas
,
Aqui só temos uma singularidade interior:
.
Calculemos a expansão de Laurent de
em torno de
. Sabemos a série de Taylor de
:
Dividindo por
,
Nesta expansão, o coeficiente do termo
é
. Portanto
Pelo Teorema dos Resíduos,
confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 4
Comentário final curto e encorajador: a razão pela qual isso é tão simples é que
é analítica e a única “problema” da integral é o fator
em
. Em provas, quando vir integrais da forma
com
analítica, já acende a lâmpada: o valor é
. Se a orientação fosse o sentido horário (contrário), o sinal simplesmente mudaria para
.