Calcular as integrais
\int_{C} \frac{e^{z}}{z} d z, C:|z|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{C}\frac{e^{z}}{z}\,dz,\qquad C:\\ |z|=1,
onde C é o círculo de raio 1 centrado na origem. Assumirei a orientação padrão (positiva), isto é, no sentido anti-horário. Informações importantes que o enunciado dá:
  • A função integranda é \dfrac{e^{z}}{z}.
  • O ponto z=0 está no interior da curva C (pois |0|=0<1).
  • A função e^{z} é inteira (analítica em toda parte), então a única singularidade da integranda dentro de C vem do fator \dfrac{1}{z} em z=0.

Passo 2

Vamos usar uma ferramenta central em análise complexa: a Fórmula Integral de Cauchy. Vou explicar ela passo a passo.
Enunciado da Fórmula Integral de Cauchy (versão útil aqui).
Se f é uma função analítica em uma vizinhança fechada de um ponto a e C é uma curva fechada simples e orientada positivamente que envolve a, então
\int_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a).
Explicando as letras:
  • f(z) é uma função analítica (sem singulares) na região considerada;
  • a é um ponto interior à curva C;
  • C é percorrida no sentido anti-horário;
  • O resultado é 2\pi i vezes o valor de f em a.
Aplicando à nossa integral: escolhemos f(z)=e^{z} (que é analítica em toda parte) e a=0. Então
\int_{C}\frac{e^{z}}{z}\,dz = 2\pi i\,e^{0} = 2\pi i\cdot 1 = 2\pi i.
Pronto — método direto e rápido.

Passo 3

Agora faço pelo outro método clássico (expansão em série / resíduo) para reforçar o entendimento e mostrar uma alternativa que funciona em muitos exercícios.
Conceito de resíduo e Teorema dos Resíduos (versão curta).
Se uma função tem uma expansão de Laurent em torno de a,
g(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n,
então o coeficiente c_{-1} é chamado de resíduo de g em a, denotado \operatorname{Res}(g,a). O Teorema dos Resíduos diz que, para uma curva C que engloba singulares isoladas a_k,
\int_{C} g(z)\,dz = 2\pi i \sum_k \operatorname{Res}(g,a_k).
Aqui só temos uma singularidade interior: a=0.
Calculemos a expansão de Laurent de \dfrac{e^{z}}{z} em torno de 0. Sabemos a série de Taylor de e^{z}:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Dividindo por z,
\frac{e^{z}}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{n!}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{n!}.
Nesta expansão, o coeficiente do termo z^{-1} é 1. Portanto
\operatorname{Res}\!\left(\frac{e^{z}}{z},0\right)=1.
Pelo Teorema dos Resíduos,
\int_{C}\frac{e^{z}}{z}\,dz = 2\pi i\cdot 1 = 2\pi i,
confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 4

Comentário final curto e encorajador: a razão pela qual isso é tão simples é que e^{z} é analítica e a única “problema” da integral é o fator 1/z em z=0. Em provas, quando vir integrais da forma \oint f(z)/(z-a)\,dz com f analítica, já acende a lâmpada: o valor é 2\pi i f(a). Se a orientação fosse o sentido horário (contrário), o sinal simplesmente mudaria para -2\pi i.

Resposta

2\pi i

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