Pedido: efetuar uma iteração do método de Newton (apenas uma iteração) com ponto inicial \;x^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\end{bmatrix}\; para aproximar uma solução do sistema
Informações dadas: as soluções exatas do sistema são \xi^{(1)}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]0\end{bmatrix} e \xi^{(2)}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]3\end{bmatrix}.
Ponto inicial (peguei do enunciado): \;x^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\end{bmatrix}.]
Passo 2
Apresentar o método de Newton para sistemas e o Jacobiano (mini-aula).
Regra do método de Newton para sistemas: dado x^{(k)}, calcula-se o incremento s^{(k)} resolvendo o sistema linear
Aqui J(x,y) é a matriz jacobiana de F, formada pelas derivadas parciais. Para uma função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com componentes F_1(x,y) e F_2(x,y),
Interpretação rápida e motivadora: após uma iteração o método levou o ponto \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} para \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[6pt]\tfrac{29}{8}\end{pmatrix}. Isso indica movimento na direção de uma das soluções (percebe-se que a segunda componente se aproximou de 3, enquanto a primeira ficou negativa), mas o exercício pedia apenas esta primeira iteração, então paramos aqui.]