Efetue uma iteração do método de Newton, \operatorname{com} x^{(0)}=[1,5]^{\top}, para determinal a solução do sistema não linear:
F(x, y)=\left[\begin{array}{c} x+y-3 \\\ x^{2}+y^{2}-9 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right] \text {, cujas soluções são } \xi^{(1)}=[3,0]^{T} \text { e } \xi^{(2)}=[0,3]^{T}çõã

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já foi dado.
  • Pedido: efetuar uma iteração do método de Newton (apenas uma iteração) com ponto inicial \;x^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\end{bmatrix}\; para aproximar uma solução do sistema
F(x,y)=\begin{pmatrix} x+y-3\\[4pt] x^{2}+y^{2}-9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Informações dadas: as soluções exatas do sistema são \xi^{(1)}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]0\end{bmatrix} e \xi^{(2)}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]3\end{bmatrix}.
  • Ponto inicial (peguei do enunciado): \;x^{(0)}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]5\end{bmatrix}.]

Passo 2

Apresentar o método de Newton para sistemas e o Jacobiano (mini-aula).
  • Regra do método de Newton para sistemas: dado x^{(k)}, calcula-se o incremento s^{(k)} resolvendo o sistema linear
J\bigl(x^{(k)}\bigr)\,s^{(k)} = -F\bigl(x^{(k)}\bigr),
e obtém-se o próximo iterado pela soma
x^{(k+1)} = x^{(k)} + s^{(k)}.
  • Aqui J(x,y) é a matriz jacobiana de F, formada pelas derivadas parciais. Para uma função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com componentes F_1(x,y) e F_2(x,y),
J(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial F_1}{\partial y}\\[8pt] \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial y} \end{pmatrix}.
  • Aqui F_1(x,y)=x+y-3 e F_2(x,y)=x^{2}+y^{2}-9. Vou calcular as derivadas parciais explicitamente (passo a passo).]

Passo 3

Calcular a Jacobiana simbólica e avaliá-la em x^{(0)}.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=1,
\frac{\partial F_2}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=2y.
  • Logo a jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]2x & 2y\end{pmatrix}.
  • Avaliando em x^{(0)}=(1,5) (peguei o ponto inicial do enunciado):
J\bigl(x^{(0)}\bigr)=J(1,5)=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]2\cdot1 & 2\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]2 & 10\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular F\bigl(x^{(0)}\bigr) (avaliar o vetor função no ponto inicial).
  • Componentes:
F_1(1,5)=1+5-3=3,
F_2(1,5)=1^{2}+5^{2}-9=1+25-9=17.
  • Logo
F\bigl(x^{(0)}\bigr)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]17\end{pmatrix}.
  • No método de Newton precisamos resolver
J\bigl(x^{(0)}\bigr)\,s^{(0)}=-F\bigl(x^{(0)}\bigr)=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-17\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema linear para encontrar [s^{(0)}) (metodinho por eliminação — mostra tudo).
  • O sistema é
\begin{cases} 1\cdot s_{1}+1\cdot s_{2}=-3,\\[6pt] 2\cdot s_{1}+10\cdot s_{2}=-17. \end{cases}
  • Faço eliminação: multiplico a primeira equação por (2] e subtraio da segunda.
    \text{(1)}\times 2:\quad 2s_{1}+2s_{2}=-6.
\text{Subtraindo da segunda: }(2s_{1}+10s_{2})-(2s_{1}+2s_{2})= -17-(-6).
\Rightarrow 8s_{2} = -11 \quad\Longrightarrow\quad s_{2} = -\dfrac{11}{8} = -1{,}375.
  • Substituo s_{2} na primeira equação:
s_{1}+s_{2}=-3 \quad\Longrightarrow\quad s_{1} = -3 - s_{2} = -3 -\left(-\dfrac{11}{8}\right)= -3 + \dfrac{11}{8}.
-3 + \dfrac{11}{8} = \dfrac{-24+11}{8} = -\dfrac{13}{8} = -1{,}625.
  • Portanto o incremento é
s^{(0)}=\begin{pmatrix}s_{1}\\[4pt]s_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{13}{8}\\[6pt]-\dfrac{11}{8}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-1{,}625\\[4pt]-1{,}375\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o novo iterado x^{(1)} e interpretar rapidamente.
  • Soma direta:
x^{(1)} = x^{(0)} + s^{(0)} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\dfrac{13}{8}\\[6pt]-\dfrac{11}{8}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-\dfrac{13}{8}\\[8pt]5-\dfrac{11}{8}\end{pmatrix}.
  • Calculo das componentes em fração:
1-\dfrac{13}{8}=\dfrac{8-13}{8}=-\dfrac{5}{8},\qquad 5-\dfrac{11}{8}=\dfrac{40-11}{8}=\dfrac{29}{8}.
  • Em forma decimal (para intuição):
x^{(1)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{8}\\[6pt]\dfrac{29}{8}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-0{,}625\\[4pt]3{,}625\end{pmatrix}.
  • Interpretação rápida e motivadora: após uma iteração o método levou o ponto \begin{pmatrix}1\\[4pt]5\end{pmatrix} para \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[6pt]\tfrac{29}{8}\end{pmatrix}. Isso indica movimento na direção de uma das soluções (percebe-se que a segunda componente se aproximou de 3, enquanto a primeira ficou negativa), mas o exercício pedia apenas esta primeira iteração, então paramos aqui.]

Resposta

\displaystyle x^{(1)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{8}\\[6pt]\dfrac{29}{8}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}-0{,}625\\[4pt]3{,}625\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados