) Calcule
onde
é
a curva
,
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde a curva
é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- O campo diferencial tem componentes
- A curva
é parametrizada por acima; em particular os pontos inicial e final são obtidos avaliando e . - Note que o termo
sugere singularidade em ; a expressão do caminho dá , portanto o caminho evita .
Passo 2
Estratégia escolhida (motivo): quando um formulário diferencial tem a forma
e for exata (isto é, existir uma função potencial
tal que
), a integral de linha ao longo de uma curva entre dois pontos vale simplesmente
avaliada nos extremos. Vou verificar se a forma é exata (checando as derivadas mistas) e, se for, achar uma potencial
e usar o teorema fundamental para integrais de gradiente. Esse método é direto e evita parametrizar e calcular integral complicada termo a termo.
Passo 3
Verificação de exatidão: calcular as derivadas parciais cruzadas e comparar.
logo
. Próximas:
logo
. Finalmente:
logo
. Todas as derivadas mistas coincidem, portanto a forma é exata no domínio considerado (onde
).
Passo 4
Comentário sobre domínio/singularidade: há singularidade em
por causa de
. Entretanto, na curva dada temos
ou seja, o caminho está inteiramente contido na região
, que é simplesmente conexa e não contém a singularidade. Portanto existe uma função potencial
bem definida ao longo do caminho, e posso aplicar o teorema do gradiente.
Passo 5
Construção da potencial
: integrar
em relação a
e adicionar uma função de
.
onde
é uma função a determinar (constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando a condição sobre
. Como
deve ser
,
Logo
Integrando em
,
onde
é função apenas de
.
Passo 7
Determinar
usando a condição sobre
. Temos agora
Calculando
,
Logo
Integrando em
,
onde
é constante arbitrária. Assim, uma potencial válida é
Passo 8
Aplicar o teorema fundamental (valor da integral = diferença da potencial nos extremos). A integral ao longo de
de
entre
e
vale
Calcular as coordenadas nos extremos:
Passo 9
Avaliar
nos extremos e simplificar. Como
em ambos os extremos, tem
. Primeiro em
:
Em
:
Como
, isto é
Agora a diferença:
Cancelam-se
,
e
, restando
Passo 10
Interpretação final: a integral de linha vale