) Calcule \int(2 x y z+\operatorname{sen} x) d x+\left(x^{2} z+2 y e^{y^{2}}\right) d y+\left(x^{2} y-\frac{1}{z^{2}}\right) d z onde c é c a curva \vec{c}(t)=\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{3} t,(t+2)^{2}\right), 0 \leqslant t \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_C (2 x y z+\sin x)\,dx+\left(x^{2} z+2 y e^{y^{2}}\right)\,dy+\left(x^{2} y-\frac{1}{z^{2}}\right)\,dz,
onde a curva C é dada por
\vec{c}(t)=\big(\cos^{3}t,\\ \sin^{3}t,\\ (t+2)^{2}\big),\qquad 0\le t\le \pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo diferencial tem componentes P(x,y,z)=2 x y z+\sin x,\qquad Q(x,y,z)=x^{2} z+2y e^{y^{2}},\qquad R(x,y,z)=x^{2} y-\frac{1}{z^{2}}.
  • A curva C é parametrizada por \vec{c}(t) acima; em particular os pontos inicial e final são obtidos avaliando t=0 e t=\pi.
  • Note que o termo -1/z^{2} sugere singularidade em z=0; a expressão do caminho dá z=(t+2)^{2}\ge 4, portanto o caminho evita z=0.

Passo 2

Estratégia escolhida (motivo): quando um formulário diferencial tem a forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz e for exata (isto é, existir uma função potencial f tal que df=P\,dx+Q\,dy+R\,dz), a integral de linha ao longo de uma curva entre dois pontos vale simplesmente f avaliada nos extremos. Vou verificar se a forma é exata (checando as derivadas mistas) e, se for, achar uma potencial f e usar o teorema fundamental para integrais de gradiente. Esse método é direto e evita parametrizar e calcular integral complicada termo a termo.

Passo 3

Verificação de exatidão: calcular as derivadas parciais cruzadas e comparar.
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(2 x y z+\sin x\big)=2 x z,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} z+2y e^{y^{2}}\big)=2 x z,
logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Próximas:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2 x y z+\sin x\big)=2 x y,
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y-\frac{1}{z^{2}}\big)=2 x y,
logo \partial P/\partial z=\partial R/\partial x. Finalmente:
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} z+2y e^{y^{2}}\big)=x^{2},
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y-\frac{1}{z^{2}}\big)=x^{2},
logo \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y. Todas as derivadas mistas coincidem, portanto a forma é exata no domínio considerado (onde z\neq 0).

Passo 4

Comentário sobre domínio/singularidade: há singularidade em z=0 por causa de -1/z^{2}. Entretanto, na curva dada temos
z(t)=(t+2)^{2}\ge 4>0\quad\text{para }0\le t\le\pi,
ou seja, o caminho está inteiramente contido na região z>0, que é simplesmente conexa e não contém a singularidade. Portanto existe uma função potencial f bem definida ao longo do caminho, e posso aplicar o teorema do gradiente.

Passo 5

Construção da potencial f(x,y,z): integrar P em relação a x e adicionar uma função de y,z.
f(x,y,z)=\int (2 x y z+\sin x)\,dx = x^{2} y z -\cos x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função a determinar (constante de integração em relação a x).

Passo 6

Determinar h(y,z) usando a condição sobre Q. Como \partial f/\partial y deve ser Q,
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} z + \frac{\partial h}{\partial y}\overset{!}{=}x^{2} z+2y e^{y^{2}}.
Logo
\frac{\partial h}{\partial y}=2y e^{y^{2}}.
Integrando em y,
h(y,z)=\int 2y e^{y^{2}}\,dy = e^{y^{2}} + k(z),
onde k(z) é função apenas de z.

Passo 7

Determinar k(z) usando a condição sobre R. Temos agora
f(x,y,z)=x^{2} y z -\cos x + e^{y^{2}} + k(z).
Calculando \partial f/\partial z,
\frac{\partial f}{\partial z}=x^{2} y + k'(z)\overset{!}{=}x^{2} y -\frac{1}{z^{2}}.
Logo
k'(z)=-\frac{1}{z^{2}}.
Integrando em z,
k(z)=\int -z^{-2}\,dz = \frac{1}{z} + C,
onde C é constante arbitrária. Assim, uma potencial válida é
f(x,y,z)=x^{2} y z -\cos x + e^{y^{2}} + \frac{1}{z} + C.

Passo 8

Aplicar o teorema fundamental (valor da integral = diferença da potencial nos extremos). A integral ao longo de C de P\,dx+Q\,dy+R\,dz entre t=0 e t=\pi vale
\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz = f\big(\vec{c}(\pi)\big)-f\big(\vec{c}(0)\big).
Calcular as coordenadas nos extremos:
\vec{c}(0)=\big(\cos^{3}0,\\ \sin^{3}0,\\ (0+2)^{2}\big)=(1,0,4),
\vec{c}(\pi)=\big(\cos^{3}\pi,\\ \sin^{3}\pi,\\ (\pi+2)^{2}\big)=(-1,0,(\pi+2)^{2}).

Passo 9

Avaliar f nos extremos e simplificar. Como y=0 em ambos os extremos, tem e^{y^{2}}=e^{0}=1. Primeiro em t=0:
f(1,0,4)=1^{2}\cdot0\cdot4 -\cos 1 + 1 + \frac{1}{4} + C = -\cos 1 + 1 + \frac{1}{4} + C.
Em t=\pi:
f(-1,0,(\pi+2)^{2}) = (-1)^{2}\cdot0\cdot(\pi+2)^{2} -\cos(-1) + 1 + \frac{1}{(\pi+2)^{2}} + C.
Como \cos(-1)=\cos 1, isto é
f(-1,0,(\pi+2)^{2}) = -\cos 1 + 1 + \frac{1}{(\pi+2)^{2}} + C.
Agora a diferença:
f\big(\vec{c}(\pi)\big)-f\big(\vec{c}(0)\big) = \Big(-\cos 1 + 1 + \frac{1}{(\pi+2)^{2}} + C\Big) - \Big(-\cos 1 + 1 + \frac{1}{4} + C\Big).
Cancelam-se -\cos 1, 1 e C, restando
\frac{1}{(\pi+2)^{2}} - \frac{1}{4}.

Passo 10

Interpretação final: a integral de linha vale
\frac{1}{(\pi+2)^{2}}-\frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{(\pi+2)^{2}}-\frac{1}{4}

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