Prove Theorem 18.
26. A perspective collineation induces a projectivity on any fixed line. Discuss the fixed point behavior of such a projectivity.

Passo 1

Vou explicar com clareza o que o enunciado pede e quais são os dados que vamos usar.
  • Temos uma collineação perspectiva \varphi do plano projetivo. Ou seja, existe um ponto chamado centro O e uma reta chamada eixo \alpha tais que O é um ponto fixo de \varphi e a reta \alpha é fixa (os pontos de \alpha são pontos fixos da collineação). Essa é a definição usual de uma perspectiva collineation (às vezes chamada de homologia ou elação, conforme O esteja ou não em \alpha).
  • Seja m uma reta que é enviada em si mesma por \varphi; isto é, \varphi(m)=m. (O enunciado quer que mostremos que a restrição de \varphi a m é uma projectividade e que discutamos como são os pontos fixos dessa projectividade.)
  • Objetivo: (i) provar que a aplicação \varphi|_{m}: m\to m é uma projectividade (isto é, preserva razão dupla / cross-ratio); (ii) descrever quantos e quais pontos de m ficam fixos por \varphi|_{m}, dependendo da posição de m relativa a O e a \alpha.

Passo 2

Lema geométrico básico que vamos usar (e explicar): projeção de uma reta num ponto e correspondência com um feixe de retas.
  • Seja P um ponto que não esteja sobre m. A projeção a partir de P define uma bijeção entre pontos de m e retas do feixe concorrente em P que cortam m: a um ponto X\in m associa-se a reta PX, e dada uma reta do feixe (exceto aquela que seja tangente degenerada) ela corta m em um único ponto.
  • Importante: a razão dupla (cross-ratio) de quatro pontos colineares (A,B;C,D) sobre m é igual à razão dupla, no feixe em P, das quatro retas (PA,PB;PC,PD). Esta igualdade é a definição operacional da razão dupla, via projeção a partir de um ponto. Em palavras: projetar a partir de P converte relações de razão dupla de pontos em razão dupla de retas concorrentes no feixe de P.
Vou usar esse fato central: projectar de/para um ponto preserva razão dupla (isto é, transforma razão dupla de pontos em razão dupla de retas e vice-versa).

Passo 3

Mostrar que \varphi|_{m} preserva razão dupla, logo é projectividade.
  • Tome quatro pontos distintos A,B,C,D\in m. Escolha um ponto P que não esteja sobre m nem sobre as retas especiais que causariam degeneração (qualquer ponto fora de m serve). Considere as quatro retas PA,PB,PC,PD do feixe em P.
  • A collineação \varphi leva retas em retas e pontos em pontos, logo leva o feixe de retas concorrentes em P para o feixe de retas concorrentes em P'=\varphi(P). Explicitamente, \varphi(PA)=\varphi(P)\,\varphi(A)=P'\,\varphi(A). Assim as quatro retas PA,PB,PC,PD são levadas às quatro retas P'\varphi(A),P'\varphi(B),P'\varphi\text{(C)},P'\varphi(D).
  • Usando o item do Passo 2 (projeção e razão dupla), temos (A,B;C,D) \;=\; (PA,PB;PC,PD)e, aplicando \varphi ao feixe, (PA,PB;PC,PD) \;=\; (P'\varphi(A),P'\varphi(B);P'\varphi\text{(C)},P'\varphi(D))e, projetando de volta sobre m (já que \varphi(m)=m, os pontos \varphi(A),\varphi(B),\varphi\text{(C)},\varphi(D) estão todos em m), (P'\varphi(A),P'\varphi(B);P'\varphi\text{(C)},P'\varphi(D)) \;=\; (\varphi(A),\varphi(B);\varphi\text{(C)},\varphi(D)).
  • Juntando, obtemos (A,B;C,D) \;=\; (\varphi(A),\varphi(B);\varphi\text{(C)},\varphi(D)).Ou seja, \varphi|_{m} preserva razão dupla de quatro pontos arbitrários de m.
  • Definição: uma bijeção de uma reta em si mesma que preserva razão dupla é uma projectividade. Concluímos que \varphi|_{m} é de fato uma projectividade.
Observação intuitiva: a preservação da razão dupla é a propriedade característica das projectividades; a collineação global, por enviar feixes em feixes e pela relação entre pontos e retas via projeção, transmite essa preservação às retas invariantes.

Passo 4

Classificação dos pontos fixos de \varphi|_{m}. Primeiro lembretes úteis:
  • \alpha (o eixo) é fixada ponto a ponto por hipótese: todo ponto de \alpha é ponto fixo de \varphi.
  • O (o centro) é um ponto fixo de \varphi.
  • Se uma reta r passar por O, então r é enviada em si própria como conjunto? Sim: qualquer reta através de O é enviada em si mesma, porque r encontra \alpha em um ponto Q=r\cap\alpha que é fixo, e a imagem de r passa por O e por Q, logo coincide com r. (Isto mostra que as retas através de O são invariantes como conjunto.)
Agora os casos para uma reta m que é invariante ( \varphi(m)=m):
  • Caso 1: m=\alpha (a própria reta eixo). Então, por hipótese, todos os pontos de m são fixos. Logo \varphi|_{m} é a identidade (fixa ponto a ponto).
  • Caso 2: m contém o centro O (isto é, O\in m) e m\neq\alpha. Então m também intersecta \alpha em um ponto Q=m\cap\alpha. Como O e todo ponto de \alpha são fixos, O e Q são dois pontos distintos de m fixos por \varphi. Assim \varphi|_{m} é uma projectividade de m que fixa (pelo menos) dois pontos distintos. Em termos algébricos essa projectividade pode ser (i) a identidade em m (caso trivial) ou (ii) uma projectividade não-trivial que tem exatamente esses dois pontos fixos (e nenhum outro, em geral). Geometricamente, para uma homologia (centro fora do eixo) as retas através de O são invariantes como conjuntos e \varphi age nelas por uma dilatação (fixando O e o ponto de interseção com \alpha) — logo tipicamente há exatamente dois pontos fixos na reta m (o centro O e o ponto de interseção com o eixo); a projectividade pode ser diferente da identidade, movendo os demais pontos de m.
  • Caso 3: m é invariante e não contém O (isto é, O\notin m). Então m intersecta \alpha em um ponto Q=m\cap\alpha, e Q é fixo. Para qualquer X\in m considérese a reta OX; ela intersecta m em X e intersecta \alpha em algum ponto S. Como S\in\alpha é fixo, a imagem da reta OX por \varphi é a própria reta OX (passa por O e por S). Como \varphi(m)=m, a imagem de X deve ser ponto da interseção da reta OX com m, que é exatamente X (a interseção é única porque OX e m são retas distintas). Portanto X é fixo. Como isso vale para qualquer X\in m, segue que m é fixada ponto a ponto: todos os pontos de m são fixos. Conclusão: se uma reta invariante m não contém O, então m é fixada ponto a ponto (daí \varphi|_{m} é a identidade).
Resumo mais direto (repassando de modo sintético):
  • Se m=\alpha então \varphi|_{m} é identidade (infinitos pontos fixos).
  • Se m é invariante e O\in m (reta que passa pelo centro), então \varphi|_{m} é projectividade que fixa pelo menos os dois pontos O e m\cap\alpha; pode ser identidade ou não, mas em geral tem exatamente esses dois pontos fixos.
  • Se m é invariante e O\notin m, então \varphi|_{m} fixa toda a reta ponto a ponto — ou seja, é identidade.

Passo 5

Comentários finais, intuição e consequências.
  • A ideia-chave foi usar a relação entre pontos em uma reta e retas de um feixe através de um ponto exterior para transportar a ação da collineação ao feixe; a collineação age linearmente em feixes (envia retas em retas), por isso a razão dupla é preservada, o que garante que a restrição a uma reta invariante é projectividade.
  • A classificação dos pontos fixos da restrição é uma consequência imediata das propriedades do centro O e do eixo \alpha: o eixo está todo fixo; as retas invariantes que não passam por O ficam fixas ponto a ponto; as retas invariantes que passam por O fixam pelo menos dois pontos (o centro e o ponto de interseção com o eixo) — e aí a projectividade pode ser não-trivial sobre essa reta (caso clássico de homologia: dilatação ao longo das retas que partem de O).

Resposta

A restrição \varphi|_{m}:m\to m é uma projectividade (preserva razão dupla) para qualquer reta m tal que \varphi(m)=m. Quanto aos pontos fixos de \varphi|_{m}:
  • Se m=\alpha (o eixo) então \varphi|_{m} é a identidade (todos os pontos de m são fixos).
  • Se m é invariante e contém o centro O (isto é, O\in m e m\neq\alpha), então \varphi|_{m} fixa pelo menos os dois pontos O e m\cap\alpha; pode ser identidade ou uma projectividade não-trivial com esses dois pontos fixos.
  • Se m é invariante e não contém O (isto é, O\notin m), então m é fixada ponto a ponto por \varphi (logo \varphi|_{m} é a identidade).

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