Prove Theorem 18.
26. A perspective collineation induces a projectivity on any fixed line. Discuss the fixed point behavior of such a projectivity.
26. A perspective collineation induces a projectivity on any fixed line. Discuss the fixed point behavior of such a projectivity.
Passo 1
Vou explicar com clareza o que o enunciado pede e quais são os dados que vamos usar.
- Temos uma collineação perspectiva
do plano projetivo. Ou seja, existe um ponto chamado centro e uma reta chamada eixo tais que é um ponto fixo de e a reta é fixa (os pontos de são pontos fixos da collineação). Essa é a definição usual de uma perspectiva collineation (às vezes chamada de homologia ou elação, conforme esteja ou não em ). - Seja
uma reta que é enviada em si mesma por ; isto é, . (O enunciado quer que mostremos que a restrição de a é uma projectividade e que discutamos como são os pontos fixos dessa projectividade.) - Objetivo: (i) provar que a aplicação
é uma projectividade (isto é, preserva razão dupla / cross-ratio); (ii) descrever quantos e quais pontos de ficam fixos por , dependendo da posição de relativa a e a .
Passo 2
Lema geométrico básico que vamos usar (e explicar): projeção de uma reta num ponto e correspondência com um feixe de retas.
- Seja
um ponto que não esteja sobre . A projeção a partir de define uma bijeção entre pontos de e retas do feixe concorrente em que cortam : a um ponto associa-se a reta , e dada uma reta do feixe (exceto aquela que seja tangente degenerada) ela corta em um único ponto. - Importante: a razão dupla (cross-ratio) de quatro pontos colineares
sobre é igual à razão dupla, no feixe em , das quatro retas . Esta igualdade é a definição operacional da razão dupla, via projeção a partir de um ponto. Em palavras: projetar a partir de converte relações de razão dupla de pontos em razão dupla de retas concorrentes no feixe de .
Vou usar esse fato central: projectar de/para um ponto preserva razão dupla (isto é, transforma razão dupla de pontos em razão dupla de retas e vice-versa).
Passo 3
Mostrar que
preserva razão dupla, logo é projectividade.
- Tome quatro pontos distintos
. Escolha um ponto que não esteja sobre nem sobre as retas especiais que causariam degeneração (qualquer ponto fora de serve). Considere as quatro retas do feixe em . - A collineação
leva retas em retas e pontos em pontos, logo leva o feixe de retas concorrentes em para o feixe de retas concorrentes em . Explicitamente, . Assim as quatro retas são levadas às quatro retas . - Usando o item do Passo 2 (projeção e razão dupla), temos
e, aplicando ao feixe, e, projetando de volta sobre (já que , os pontos estão todos em ), - Juntando, obtemos
Ou seja, preserva razão dupla de quatro pontos arbitrários de . - Definição: uma bijeção de uma reta em si mesma que preserva razão dupla é uma projectividade. Concluímos que
é de fato uma projectividade.
Observação intuitiva: a preservação da razão dupla é a propriedade característica das projectividades; a collineação global, por enviar feixes em feixes e pela relação entre pontos e retas via projeção, transmite essa preservação às retas invariantes.
Passo 4
Classificação dos pontos fixos de
. Primeiro lembretes úteis:
-
(o eixo) é fixada ponto a ponto por hipótese: todo ponto de é ponto fixo de . -
(o centro) é um ponto fixo de . - Se uma reta
passar por , então é enviada em si própria como conjunto? Sim: qualquer reta através de é enviada em si mesma, porque encontra em um ponto que é fixo, e a imagem de passa por e por , logo coincide com . (Isto mostra que as retas através de são invariantes como conjunto.)
Agora os casos para uma reta
que é invariante (
):
-
Caso 1:
(a própria reta eixo). Então, por hipótese, todos os pontos de são fixos. Logo é a identidade (fixa ponto a ponto). -
Caso 2:
contém o centro (isto é, ) e . Então também intersecta em um ponto . Como e todo ponto de são fixos, e são dois pontos distintos de fixos por . Assim é uma projectividade de que fixa (pelo menos) dois pontos distintos. Em termos algébricos essa projectividade pode ser (i) a identidade em (caso trivial) ou (ii) uma projectividade não-trivial que tem exatamente esses dois pontos fixos (e nenhum outro, em geral). Geometricamente, para uma homologia (centro fora do eixo) as retas através de são invariantes como conjuntos e age nelas por uma dilatação (fixando e o ponto de interseção com ) — logo tipicamente há exatamente dois pontos fixos na reta (o centro e o ponto de interseção com o eixo); a projectividade pode ser diferente da identidade, movendo os demais pontos de . -
Caso 3:
é invariante e não contém (isto é, ). Então intersecta em um ponto , e é fixo. Para qualquer considérese a reta ; ela intersecta em e intersecta em algum ponto . Como é fixo, a imagem da reta por é a própria reta (passa por e por ). Como , a imagem de deve ser ponto da interseção da reta com , que é exatamente (a interseção é única porque e são retas distintas). Portanto é fixo. Como isso vale para qualquer , segue que é fixada ponto a ponto: todos os pontos de são fixos. Conclusão: se uma reta invariante não contém , então é fixada ponto a ponto (daí é a identidade).
Resumo mais direto (repassando de modo sintético):
- Se
então é identidade (infinitos pontos fixos). - Se
é invariante e (reta que passa pelo centro), então é projectividade que fixa pelo menos os dois pontos e ; pode ser identidade ou não, mas em geral tem exatamente esses dois pontos fixos. - Se
é invariante e , então fixa toda a reta ponto a ponto — ou seja, é identidade.
Passo 5
Comentários finais, intuição e consequências.
- A ideia-chave foi usar a relação entre pontos em uma reta e retas de um feixe através de um ponto exterior para transportar a ação da collineação ao feixe; a collineação age linearmente em feixes (envia retas em retas), por isso a razão dupla é preservada, o que garante que a restrição a uma reta invariante é projectividade.
- A classificação dos pontos fixos da restrição é uma consequência imediata das propriedades do centro
e do eixo : o eixo está todo fixo; as retas invariantes que não passam por ficam fixas ponto a ponto; as retas invariantes que passam por fixam pelo menos dois pontos (o centro e o ponto de interseção com o eixo) — e aí a projectividade pode ser não-trivial sobre essa reta (caso clássico de homologia: dilatação ao longo das retas que partem de ).
Resposta
A restrição
é uma projectividade (preserva razão dupla) para qualquer reta
tal que
. Quanto aos pontos fixos de
:
- Se
(o eixo) então é a identidade (todos os pontos de são fixos). - Se
é invariante e contém o centro (isto é, e ), então fixa pelo menos os dois pontos e ; pode ser identidade ou uma projectividade não-trivial com esses dois pontos fixos. - Se
é invariante e não contém (isto é, ), então é fixada ponto a ponto por (logo é a identidade).