Exerc. 1) A partir da formulação integral para a Equação de Quantidade de Movimento,
\left(\frac{d \vec{P}}{d t}\right)_{\text {sistema }}=\frac{\partial}{\partial t} \int_{V C} \vec{V} \rho d V+\int_{S C} \vec{V} \rho \vec{V} \cdot d \vec{A}=\vec{F}_{B}+\vec{F}_{S}
explique o significado físico de cada termo na equação.

Passo 1

O enunciado pede: a partir da formulação integral
\left(\frac{d \vec{P}}{d t}\right)_{\text{sistema}}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_C}\vec{V}\,\rho\,dV+\int_{S_C}\vec{V}\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}=\vec{F}_B+\vec{F}_S
explicar o significado físico de cada termo.
Informações e símbolos dados (lista clara do que aparece na equação):
  • \left(\dfrac{d \vec{P}}{d t}\right)_{\text{sistema}}: taxa de variação do momento linear do sistema (quantidade de movimento) — termo à esquerda.
  • V_C: volume de controle (região fixa no espaço onde fazemos as integrais).
  • S_C: superfície de controle, fronteira do V_C.
  • \vec{V}: campo de velocidade do fluido (vetor velocidade).
  • \rho: densidade do fluido (massa por unidade de volume).
  • d\vec{A}: elemento vetorial de área da superfície de controle (direção do vetor normal para fora do volume de controle).
  • \vec{F}_B: força resultante de corpo (body forces), aplicada ao volume (ex.: gravidade).
  • \vec{F}_S: força resultante de superfície (surface forces), atuando na superfície (ex.: pressão e esforços viscosos).
O que é pedido: explicar fisicamente o que cada termo na igualdade representa e como interpretá-los na prática (inclusive convenções de sinal e exemplos).

Passo 2

Contexto físico e origem curta da equação (intuição):
A equação é a aplicação da segunda lei de Newton a um “sistema” (um conjunto fixo de massa) reescrita em forma de volume de controle através do teorema de transporte de Reynolds. A ideia do teorema é que a taxa de variação no tempo de uma propriedade extensa do sistema (aqui o momento \vec{P}) pode ser escrita como soma de duas contribuições observadas num volume de controle fixo:
\left(\frac{d}{dt}\right)_{\text{sistema}}\int_{\text{sistema}}\rho\,\vec{V}\,dV = \frac{\partial}{\partial t}\int_{V_C}\rho\,\vec{V}\,dV + \int_{S_C}\rho\,\vec{V}\,(\vec{V}\cdot d\vec{A}).
Neste caso a propriedade por unidade de massa é \vec{b}=\vec{V}, então a propriedade extensa é \int \rho\vec{V}dV, que é o momento linear. Essa identidade matemática dá origem aos dois termos do lado direito da equação do enunciado.

Passo 3

Significado do termo à esquerda: \left(\dfrac{d \vec{P}}{d t}\right)_{\text{sistema}}
  • É a taxa de variação temporal do momento total do sistema observado seguindo as partículas de fluido (material derivative do momento total).
  • Fisicamente: quanto o momento do conjunto de massa está mudando por segundo — por aceleração das partículas já no sistema ou por entrada/saída de massa.
  • Pela segunda lei de Newton, essa taxa de variação do momento do sistema é igual à soma das forças externas que atuam sobre o sistema.

Passo 4

Significado do primeiro termo do RHS: \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{V_C}\vec{V}\,\rho\,dV (acúmulo local / termo não estacionário)
  • Representa a variação temporal do momento contido dentro do volume de controle, medida em um volume fixo no espaço.
  • Interpretação física: se a velocidade em pontos do volume muda com o tempo (por exemplo, todo o fluido no volume acelera), então há ganho ou perda de momento dentro do volume mesmo que não haja troca de massa pela fronteira. Esse ganho/ perda é contabilizado por esse termo.
  • Caso de fluxo estacionário (steady flow): \dfrac{\partial}{\partial t}\int_{V_C}\rho\vec{V}dV= \vec{0}. Ou seja, em regime estacionário não há acúmulo temporal dentro do CV.
  • Exemplo simples: se em um tanque fechado a velocidade média do fluido aumenta de 0 para \vec{V}_0 em um intervalo, esse termo mede o aumento de momento dentro do tanque.

Passo 5

Significado do segundo termo do RHS: \displaystyle\int_{S_C}\vec{V}\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A} (fluxo convectivo de momento)
  • É o fluxo convectivo (por convecção) do momento através da superfície de controle.
  • Interpretação física: através de um elemento de área d\vec{A}=\hat{n}\,dA sai ou entra massa com taxa \rho\,(\vec{V}\cdot d\vec{A}). Cada parcela de massa carrega momento por unidade de massa igual a \vec{V}. Assim o produto \rho\,\vec{V}\,(\vec{V}\cdot d\vec{A}) é a contribuição elemental de momento por unidade de tempo que atravessa d\vec{A}. Integrando sobre toda a superfície obtemos o balanço total de momento que sai menos o que entra.
  • Convenção de sinal: d\vec{A} aponta para fora do V_C. Se \vec{V}\cdot d\vec{A}>0 há saída de massa (e momentum) pelo elemento; se \vec{V}\cdot d\vec{A}<0 há entrada.
  • Em aplicações simplificadas com poucas entradas/saídas discretas, esse integral reduz-se a somas do tipo \sum \dot{m}\,\vec{V}, onde \dot{m}=\rho A V_n é a vazão mássica para cada seção.
  • Exemplo numérico rápido (do tipo prova): considerar fluxo incomp. com duas seções (entrada e saída) tais que \rho A_{\text{in}} V_{\text{in}}=\rho A_{\text{out}} V_{\text{out}}=\dot{m}. Então
\int_{S_C}\rho\vec{V}(\vec{V}\cdot d\vec{A}) = \rho A_{\text{out}} V_{\text{out}}^2\,\hat{e}_{\text{out}} - \rho A_{\text{in}} V_{\text{in}}^2\,\hat{e}_{\text{in}} = \dot{m}\,\vec{V}_{\text{out}} - \dot{m}\,\vec{V}_{\text{in}}.
Isto mostra claramente que a diferença de momentum convectado entra na conta da força.

Passo 6

Significado dos termos de força do RHS: \vec{F}_B e \vec{F}_S
  • \vec{F}_B (forças de corpo): forças volumétricas que atuam sobre cada porção de massa do fluido; expressas em integral de volume. Exemplo típico:
\vec{F}_B=\int_{V_C}\rho\,\vec{g}\,dV,
onde \vec{g} é a aceleração gravitacional. Outras forças de corpo possíveis: forças eletromagnéticas por unidade de massa, forças inerciais em referenciais acelerados, etc. Essas forças atuam em todo o volume, não apenas na superfície.
  • \vec{F}_S (forças de superfície): forças aplicadas na fronteira do volume de controle, originadas nos estresses do fluido (pressão e tensões viscosas). Formalmente:
\vec{F}_S=\int_{S_C}\vec{t}\,dA, \qquad \vec{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{n}
onde \vec{t} é o vetor tensão (força por unidade de área) sobre a superfície com normal \hat{n} e \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões. Separando pressão e viscosidade:
\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau},
portanto
\vec{F}_S = -\int_{S_C} p\,\hat{n}\,dA + \int_{S_C}\boldsymbol{\tau}\cdot\hat{n}\,dA,
onde o primeiro termo é a força devida à pressão (normal) e o segundo às forças viscosas (cisalhamento).
  • Interpretação: \vec{F}_S é a soma das forças exercidas pelas superfícies que cercam o CV (por exemplo, pressão do fluido sobre as paredes de um tubo e forças de atrito viscoso).

Passo 7

Como interpretar a equação inteira em palavras e em problemas de prova
  • A equação lê-se: “a taxa de variação do momento do sistema (segundo Newton) é igual ao acréscimo temporal de momento dentro de um volume de controle mais o fluxo convectivo de momento através da superfície de controle; esse total deve ser gerado pelas forças externas de corpo e de superfície.”
  • Em exames e problemas práticos: escolhe-se um volume de controle que torne as integrais fáceis (por exemplo, seções onde velocidade é uniforme, ou superfícies onde pressão é conhecida). Em regime estacionário, o termo de acumulação some e restam apenas os fluxos convectivos equacionados às forças externas. Para jatos e hélices esse balanço dá o empuxo; para tubos com mudança de velocidade dá a força sobre a tubulação.

Passo 8

Dicas práticas e sinais (coisa que cai em prova)
  • Lembre de que d\vec{A} aponta para fora do V_C. Para entradas de fluxo \vec{V}\cdot d\vec{A}<0.
  • Para múltiplas entradas/saídas discretas, troque o integral por somas \sum \dot{m}\,\vec{V}.
  • Se o problema pedir a força atuante na parede (reação), calcule \vec{F}_S+\vec{F}_B para o fluido e então faça a reação de sinal para a estrutura (força na parede é oposta à força do fluido sobre a parede).
  • Se o número de Reynolds for grande e o problema pedir aproximações, às vezes pode-se desprezar \boldsymbol{\tau} (termo viscoso) e manter apenas a pressão no \vec{F}_S.

Passo 9

Exemplo numérico rápido (modelo de prova, para fixar): fluxo incompressível com entrada e saída únicas, \rho=1\\ \text{kg/m}^3, entrada A_{\text{in}}=1\\ \text{m}^2, V_{\text{in}}=2\\ \text{m/s} para a esquerda, saída A_{\text{out}}=0{,}5\\ \text{m}^2, V_{\text{out}}=4\\ \text{m/s} para a direita. Continuidade: \dot{m}=\rho A_{\text{in}}V_{\text{in}}=2\\ \text{kg/s}. Fluxo convectivo:
\int_{S_C}\rho\vec{V}(\vec{V}\cdot d\vec{A}) = \dot{m}\,\vec{V}_{\text{out}} - \dot{m}\,\vec{V}_{\text{in}} = 2\,(4\hat{i} - 2(-\hat{i})) = 2\,(4\hat{i}+2\hat{i})\\ \text{(se sinais escolhidos adequadamente)},
ou de forma mais direta (com sinais consistentes) obtém-se a força externa requerida para acelerar o fluido de 2\\ \text{m/s} para 4\\ \text{m/s}, que dá uma ordem de magnitude de alguns newtons neste exemplo. (O objetivo aqui é ver como o termo convectivo se reduz a \dot{m}(\vec{V}_{out}-\vec{V}_{in}) em situações discretas.)

Passo 10

Resumo de uso na prova e encorajamento rápido
  • Resuma antes de começar: identifique CV conveniente, calcule acumulação (se for unsteady), calcule termos de fluxo por seções ou integrando, calcule \vec{F}_B por integrais de volume (ex.: gravidade) e \vec{F}_S por pressão e viscosidade sobre superfícies conhecidas.
  • Vai dar certo — escolha um CV simples e use \dot{m}\,\vec{V} para entradas/saídas quando puder.

Resposta

\left(\dfrac{d \vec{P}}{d t}\right)_{\text{sistema}}: taxa de variação do momento total do sistema (variação do momento seguindo a massa), isto é, a mudança do momento que, pela 2ª lei de Newton, deve ser causada por forças externas.\n
\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{V_C}\vec{V}\,\rho\,dV: termo de acumulação local — variação temporal do momento contido dentro do volume de controle (não-zero em escoamentos não estacionários).\n
\displaystyle\int_{S_C}\vec{V}\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}: fluxo convectivo de momento através da superfície de controle — momento que entra ou sai pela fronteira devido à massa transportada (interpretação prática: somas do tipo \sum\dot{m}\,\vec{V} para entradas/saídas discretas); o sinal depende de \vec{V}\cdot d\vec{A} (positivo para saída).\n
\vec{F}_B: soma das forças de corpo agindo no volume (ex.: \displaystyle\int_{V_C}\rho\,\vec{g}\,dV), forças distribuídas por volume.\n
\vec{F}_S: soma das forças de superfície sobre a fronteira (vetor tensão \vec{t}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{n}); inclui contribuição de pressão e de tensões viscosas ( \vec{F}_S=-\int_{S_C}p\hat{n}dA+\int_{S_C}\boldsymbol{\tau}\cdot\hat{n}dA).

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