Exerc. 1) A partir da formulação integral para a Equação de Quantidade de Movimento,
explique o significado físico de cada termo na equação.
Passo 1
O enunciado pede: a partir da formulação integral
explicar o significado físico de cada termo.
Informações e símbolos dados (lista clara do que aparece na equação):
-
: taxa de variação do momento linear do sistema (quantidade de movimento) — termo à esquerda. -
: volume de controle (região fixa no espaço onde fazemos as integrais). -
: superfície de controle, fronteira do . -
: campo de velocidade do fluido (vetor velocidade). -
: densidade do fluido (massa por unidade de volume). -
: elemento vetorial de área da superfície de controle (direção do vetor normal para fora do volume de controle). -
: força resultante de corpo (body forces), aplicada ao volume (ex.: gravidade). -
: força resultante de superfície (surface forces), atuando na superfície (ex.: pressão e esforços viscosos).
O que é pedido: explicar fisicamente o que cada termo na igualdade representa e como interpretá-los na prática (inclusive convenções de sinal e exemplos).
Passo 2
Contexto físico e origem curta da equação (intuição):
A equação é a aplicação da segunda lei de Newton a um “sistema” (um conjunto fixo de massa) reescrita em forma de volume de controle através do teorema de transporte de Reynolds. A ideia do teorema é que a taxa de variação no tempo de uma propriedade extensa do sistema (aqui o momento ) pode ser escrita como soma de duas contribuições observadas num volume de controle fixo:
A equação é a aplicação da segunda lei de Newton a um “sistema” (um conjunto fixo de massa) reescrita em forma de volume de controle através do teorema de transporte de Reynolds. A ideia do teorema é que a taxa de variação no tempo de uma propriedade extensa do sistema (aqui o momento
Neste caso a propriedade por unidade de massa é
, então a propriedade extensa é
, que é o momento linear. Essa identidade matemática dá origem aos dois termos do lado direito da equação do enunciado.
Passo 3
Significado do termo à esquerda:
- É a taxa de variação temporal do momento total do sistema observado seguindo as partículas de fluido (material derivative do momento total).
- Fisicamente: quanto o momento do conjunto de massa está mudando por segundo — por aceleração das partículas já no sistema ou por entrada/saída de massa.
- Pela segunda lei de Newton, essa taxa de variação do momento do sistema é igual à soma das forças externas que atuam sobre o sistema.
Passo 4
Significado do primeiro termo do RHS:
(acúmulo local / termo não estacionário)
- Representa a variação temporal do momento contido dentro do volume de controle, medida em um volume fixo no espaço.
- Interpretação física: se a velocidade em pontos do volume muda com o tempo (por exemplo, todo o fluido no volume acelera), então há ganho ou perda de momento dentro do volume mesmo que não haja troca de massa pela fronteira. Esse ganho/ perda é contabilizado por esse termo.
- Caso de fluxo estacionário (steady flow):
. Ou seja, em regime estacionário não há acúmulo temporal dentro do CV. - Exemplo simples: se em um tanque fechado a velocidade média do fluido aumenta de
para em um intervalo, esse termo mede o aumento de momento dentro do tanque.
Passo 5
Significado do segundo termo do RHS:
(fluxo convectivo de momento)
- É o fluxo convectivo (por convecção) do momento através da superfície de controle.
- Interpretação física: através de um elemento de área
sai ou entra massa com taxa . Cada parcela de massa carrega momento por unidade de massa igual a . Assim o produto é a contribuição elemental de momento por unidade de tempo que atravessa . Integrando sobre toda a superfície obtemos o balanço total de momento que sai menos o que entra. - Convenção de sinal:
aponta para fora do . Se há saída de massa (e momentum) pelo elemento; se há entrada. - Em aplicações simplificadas com poucas entradas/saídas discretas, esse integral reduz-se a somas do tipo
, onde é a vazão mássica para cada seção. - Exemplo numérico rápido (do tipo prova): considerar fluxo incomp. com duas seções (entrada e saída) tais que
. Então
Isto mostra claramente que a diferença de momentum convectado entra na conta da força.
Passo 6
Significado dos termos de força do RHS:
e
-
(forças de corpo): forças volumétricas que atuam sobre cada porção de massa do fluido; expressas em integral de volume. Exemplo típico:
onde
é a aceleração gravitacional. Outras forças de corpo possíveis: forças eletromagnéticas por unidade de massa, forças inerciais em referenciais acelerados, etc. Essas forças atuam em todo o volume, não apenas na superfície.
-
(forças de superfície): forças aplicadas na fronteira do volume de controle, originadas nos estresses do fluido (pressão e tensões viscosas). Formalmente:
onde
é o vetor tensão (força por unidade de área) sobre a superfície com normal
e
é o tensor de tensões. Separando pressão e viscosidade:
portanto
onde o primeiro termo é a força devida à pressão (normal) e o segundo às forças viscosas (cisalhamento).
- Interpretação:
é a soma das forças exercidas pelas superfícies que cercam o CV (por exemplo, pressão do fluido sobre as paredes de um tubo e forças de atrito viscoso).
Passo 7
Como interpretar a equação inteira em palavras e em problemas de prova
- A equação lê-se: “a taxa de variação do momento do sistema (segundo Newton) é igual ao acréscimo temporal de momento dentro de um volume de controle mais o fluxo convectivo de momento através da superfície de controle; esse total deve ser gerado pelas forças externas de corpo e de superfície.”
- Em exames e problemas práticos: escolhe-se um volume de controle que torne as integrais fáceis (por exemplo, seções onde velocidade é uniforme, ou superfícies onde pressão é conhecida). Em regime estacionário, o termo de acumulação some e restam apenas os fluxos convectivos equacionados às forças externas. Para jatos e hélices esse balanço dá o empuxo; para tubos com mudança de velocidade dá a força sobre a tubulação.
Passo 8
Dicas práticas e sinais (coisa que cai em prova)
- Lembre de que
aponta para fora do . Para entradas de fluxo . - Para múltiplas entradas/saídas discretas, troque o integral por somas
. - Se o problema pedir a força atuante na parede (reação), calcule
para o fluido e então faça a reação de sinal para a estrutura (força na parede é oposta à força do fluido sobre a parede). - Se o número de Reynolds for grande e o problema pedir aproximações, às vezes pode-se desprezar
(termo viscoso) e manter apenas a pressão no .
Passo 9
Exemplo numérico rápido (modelo de prova, para fixar): fluxo incompressível com entrada e saída únicas,
, entrada
,
para a esquerda, saída
,
para a direita. Continuidade:
. Fluxo convectivo:
ou de forma mais direta (com sinais consistentes) obtém-se a força externa requerida para acelerar o fluido de
para
, que dá uma ordem de magnitude de alguns newtons neste exemplo. (O objetivo aqui é ver como o termo convectivo se reduz a
em situações discretas.)
Passo 10
Resumo de uso na prova e encorajamento rápido
- Resuma antes de começar: identifique CV conveniente, calcule acumulação (se for unsteady), calcule termos de fluxo por seções ou integrando, calcule
por integrais de volume (ex.: gravidade) e por pressão e viscosidade sobre superfícies conhecidas. - Vai dar certo — escolha um CV simples e use
para entradas/saídas quando puder.