Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações importantes que temos:
- A função é uma composição: uma função externa
aplicada a uma função interna . - Não há outros dados ou condições; queremos
, a derivada em termos de .
Passo 2
Ideia-chave (fórmula que vamos usar): quando uma função é composição de uma função externa
com uma interna
, a derivada é dada pela regra da cadeia:
Explicando com calma:
é a derivada da função externa em relação à sua variável
, avaliada no ponto
. Em seguida multiplica-se pelo
, que é a derivada da função interna. Pense assim: primeiro deriva-se a casca, mantendo o recheio; depois multiplica-se pela derivada do recheio. =)
Passo 3
Identificar as duas funções envolvidas:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Passo 4
Derivar a função externa
. A derivada da função seno é cosseno, ou seja,
(Estou usando
— em português é o cosseno — que é a derivada do seno.)
Passo 5
Derivar a função interna
passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: substituir
em
e multiplicar por
. Assim
Podemos fatorar
para deixar mais enxuto:
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre identifique primeiro a parte externa (a “casca”) e a parte interna (o “recheio”), escreva a derivada da externa em função da interna e multiplique pela derivada da interna. Exemplo rápido parecido: para
a derivada seria
.