Questão 3) Para cada função a seguir, encontre a derivada:
f(x)=\operatorname{sen}\left(3 x^{2}+6 x\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(3x^{2}+6x\bigr).
Informações importantes que temos:
  • A função é uma composição: uma função externa \operatorname{sen}(\cdot) aplicada a uma função interna 3x^{2}+6x.
  • Não há outros dados ou condições; queremos f'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula que vamos usar): quando uma função é composição de uma função externa g(u) com uma interna u(x), a derivada é dada pela regra da cadeia:
\bigl(g(u(x))\bigr)' = g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando com calma: g'(u) é a derivada da função externa em relação à sua variável u, avaliada no ponto u=u(x). Em seguida multiplica-se pelo u'(x), que é a derivada da função interna. Pense assim: primeiro deriva-se a casca, mantendo o recheio; depois multiplica-se pela derivada do recheio. =)

Passo 3

Identificar as duas funções envolvidas:
  • Função externa: g(u)=\operatorname{sen}(u).
  • Função interna: u(x)=3x^{2}+6x.

Passo 4

Derivar a função externa g(u)=\operatorname{sen}(u). A derivada da função seno é cosseno, ou seja,
g'(u)=\cos(u).
(Estou usando \cos — em português é o cosseno — que é a derivada do seno.)

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=3x^{2}+6x passo a passo:
  • Derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x = 6x.
  • Derivada de 6x é 6.
    Portanto
u'(x)=6x+6.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: substituir u(x)=3x^{2}+6x em g'(u) e multiplicar por u'(x). Assim
f'(x)=\cos\!\bigl(3x^{2}+6x\bigr)\cdot\bigl(6x+6\bigr).
Podemos fatorar 6 para deixar mais enxuto:
f'(x)=6(x+1)\cos\!\bigl(3x^{2}+6x\bigr).

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre identifique primeiro a parte externa (a “casca”) e a parte interna (o “recheio”), escreva a derivada da externa em função da interna e multiplique pela derivada da interna. Exemplo rápido parecido: para \operatorname{sen}(5x) a derivada seria \cos(5x)\cdot 5.

Resposta

f'(x)=6(x+1)\cos\!\bigl(3x^{2}+6x\bigr)

Exercícios relacionados