Calcular as integrais:
\int \frac{d x}{e^{x}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{e^{x}+1}.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{1}{e^{x}+1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{e^{x}+1}.

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): aqui é útil transformar a integranda de modo que apareça algo proporcional à derivada de uma expressão simples. Uma manobra muito comum é multiplicar numerador e denominador por e^{-x} para obter uma forma em que possamos fazer a substituição t=e^{-x}. Vou explicar por que isso funciona passo a passo.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por e^{-x} (isso é permitido porque e^{-x} nunca é zero) obtemos:
\frac{1}{e^{x}+1}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}.
Essa forma é útil porque e^{-x} aparece no numerador e sua derivada em relação a x também é proporcional a e^{-x}, facilitando uma substituição.

Passo 4

Fazemos a substituição
t=e^{-x}.
Agora calculemos o diferencial dt. Pelo cálculo de derivadas, d(e^{-x})/dx=-e^{-x}. Multiplicando por dx obtemos
dt=-e^{-x}\,dx,
ou seja
e^{-x}\,dx=-dt.
Essa relação vai permitir trocar e^{-x}dx por -dt na integral.

Passo 5

Aplicando a transformação na integral:
\int \frac{dx}{e^{x}+1}=\int \frac{e^{-x}\,dx}{1+e^{-x}}.
Usando t=e^{-x} e e^{-x}\,dx=-dt isso vira
\int \frac{e^{-x}\,dx}{1+e^{-x}}=\int \frac{-dt}{1+t}=-\int \frac{dt}{1+t}.
A integral de \dfrac{1}{1+t} é a função logarítmica natural. Portanto
-\int \frac{dt}{1+t}=-\ln(1+t)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original x (substituindo t=e^{-x}) obtemos a primitiva
-\ln(1+e^{-x})+C.
Essa é uma forma correta da antiderivada. Podemos também escrever a primitiva de outra forma equivalente, desenvolvendo o logaritmo:
-\ln(1+e^{-x})=-\ln\!\left(\frac{1+e^{x}}{e^{x}}\right)=-\ln(1+e^{x})+\ln(e^{x})=-\ln(1+e^{x})+x.
Logo uma forma alternativa da primitiva é
x-\ln(1+e^{x})+C.
As duas formas diferem apenas por constante (são equivalentes como antiderivadas).

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando x-\ln(1+e^{x}) usando regra da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x-\ln(1+e^{x})\bigr)=1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=\frac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}}=\frac{1}{1+e^{x}},
que é exatamente a integranda. Assim a primitiva está correta.

Resposta

-\ln(1+e^{-x})+C

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