Calcular as integrais:
\int \frac{d x}{e^{x}+1} d x
\int \frac{d x}{e^{x}+1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a função integranda é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): aqui é útil transformar a integranda de modo que apareça algo proporcional à derivada de uma expressão simples. Uma manobra muito comum é multiplicar numerador e denominador por
para obter uma forma em que possamos fazer a substituição
. Vou explicar por que isso funciona passo a passo.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador por
(isso é permitido porque
nunca é zero) obtemos:
Essa forma é útil porque
aparece no numerador e sua derivada em relação a
também é proporcional a
, facilitando uma substituição.
Passo 4
Fazemos a substituição
Agora calculemos o diferencial
. Pelo cálculo de derivadas,
. Multiplicando por
obtemos
ou seja
Essa relação vai permitir trocar
por
na integral.
Passo 5
Aplicando a transformação na integral:
Usando
e
isso vira
A integral de
é a função logarítmica natural. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
) obtemos a primitiva
Essa é uma forma correta da antiderivada. Podemos também escrever a primitiva de outra forma equivalente, desenvolvendo o logaritmo:
Logo uma forma alternativa da primitiva é
As duas formas diferem apenas por constante (são equivalentes como antiderivadas).
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando
usando regra da derivada:
que é exatamente a integranda. Assim a primitiva está correta.