Calcular as integrais.
\int_{0}^{2 \pi}|\operatorname{sen} x| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2\pi} \lvert \operatorname{sen} x\rvert \, dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \lvert \operatorname{sen} x\rvert (valor absoluto da função seno).
  • O intervalo de integração é [0,2\pi].
  • Devemos lembrar que a função \operatorname{sen} x muda de sinal dentro desse intervalo (há pontos onde ela é zero e trechos em que é positiva ou negativa).

Passo 2

Vamos escolher uma maneira prática para calcular \int_{0}^{2\pi} \lvert \operatorname{sen} x\rvert \, dx\). A ideia é usar a definição de valor absoluto: \[\lvert a\rvert = \begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] - a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Aplicando isso a \operatorname{sen} x\], precisamos dividir o intervalo \([0,2\pi] nos trechos onde \operatorname{sen} x é não negativo e onde é negativo. Sabemos (ou observamos no círculo trigonométrico) que:
  • \operatorname{sen} x \ge 0 em [0,\pi],
  • \operatorname{sen} x \le 0 em [\pi,2\pi],
    e que \operatorname{sen} x=0 em x=0,\pi,2\pi.
    Portanto podemos escrever a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto:
\int_{0}^{2\pi} \lvert \operatorname{sen} x\rvert \, dx = \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx \;+\; \int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\, dx.
Isto é só reorganizar conforme a definição de \lvert\cdot\rvert.]

Passo 3

Agora vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de \operatorname{sen} x em [0,\pi].
Lembra que uma antiderivada (primitiva) de \operatorname{sen} x é -\cos x, porque a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x. Então
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx = \bigl[-\cos x \bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(-\cos \pi\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr).
Agora substituímos os valores: \cos \pi = -1 e \cos 0 = 1. Assim
\bigl(-\cos \pi\bigr) - \bigl(-\cos 0\bigr) = \bigl(-(-1)\bigr) - \bigl(-(1)\bigr) = 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Agora a segunda integral, em [\pi,2\pi]:
\int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\, dx.
Uma antiderivada de -\operatorname{sen} x é \cos x, porque \frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x. Logo
\int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\, dx = \bigl[\cos x\bigr]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi).
Sabemos que \cos(2\pi)=1 e \cos(\pi)=-1. Então
\cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2.

Passo 5

Somando as duas contribuições que encontramos:
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x \, dx = 2, \qquad \int_{\pi}^{2\pi} (-\operatorname{sen} x)\, dx = 2,
portanto
\int_{0}^{2\pi} \lvert \operatorname{sen} x\rvert \, dx = 2 + 2 = 4.
Interpretação rápida: a função \lvert \operatorname{sen} x\rvert tem duas “meias-ondas” idênticas em [0,\pi] e [\pi,2\pi]; cada uma tem área 2, totalizando 4.

Resposta

\,4\,

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