Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
(valor absoluto da função seno). - O intervalo de integração é
. - Devemos lembrar que a função
muda de sinal dentro desse intervalo (há pontos onde ela é zero e trechos em que é positiva ou negativa).
Passo 2
Vamos escolher uma maneira prática para calcular
Aplicando isso a
nos trechos onde
é não negativo e onde é negativo. Sabemos (ou observamos no círculo trigonométrico) que:
-
em , -
em ,
e queem .
Portanto podemos escrever a integral como soma de duas integrais sem valor absoluto:
Isto é só reorganizar conforme a definição de
.]
Passo 3
Agora vamos calcular cada integral separadamente. Primeiro, a integral de
em
.
Lembra que uma antiderivada (primitiva) de
é
, porque a derivada de
é
. Então
Agora substituímos os valores:
e
. Assim
Passo 4
Agora a segunda integral, em
:
Uma antiderivada de
é
, porque
. Logo
Sabemos que
e
. Então
Passo 5
Somando as duas contribuições que encontramos:
portanto
Interpretação rápida: a função
tem duas “meias-ondas” idênticas em
e
; cada uma tem área
, totalizando
.