Calcular as integrais.
\int_{1}^{5} \sqrt{2 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{5} \sqrt{2x-1}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é \sqrt{2x-1}, que podemos escrever como (2x-1)^{1/2}.
  • O intervalo de integração é [1,5].
  • Para x\in[1,5] temos 2x-1\ge 1>0, logo a raiz está bem definida e a integral existe.
    A partir daqui vamos transformar a integral para uma forma que conhecemos como primitiva fácil de calcular.

Passo 2

Estratégia: usar a substituição (u-substituição). Explico a ideia com calma: quando a integranda é uma composição do tipo f(g(x)) e aparece também um múltiplo de g'(x), é conveniente definir u=g(x). Aqui temos g(x)=2x-1. Então definimos
u = 2x-1.
Derivando em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=2\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Além disso, em integrais definidas é mais simples mudar também os limites: quando x=1 temos
u(1)=2\cdot 1-1=1,
e quando x=5 temos
u(5)=2\cdot 5-1=9.
Assim a integral em x será transformada numa integral em u com limites de 1 a 9.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral:
\int_{1}^{5} \sqrt{2x-1}\,dx = \int_{x=1}^{x=5} (2x-1)^{1/2}\,dx.
Com u=2x-1 e dx=\dfrac{du}{2} e os novos limites u=1 a u=9, obtemos
\int_{1}^{5} (2x-1)^{1/2}\,dx = \int_{u=1}^{u=9} u^{1/2}\cdot\frac{du}{2}.
Como \dfrac{1}{2} é constante, podemos tirar do integral:
\int_{1}^{5} \sqrt{2x-1}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \int u^{1/2}\,du. Usamos a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então n+1=\tfrac{3}{2} e
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Voltando ao nosso integral com o fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int_{1}^{9} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{9} = \frac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{9}.

Passo 5

Avaliação da primitiva nos limites: precisamos de 9^{3/2} e 1^{3/2}. Lembre que a^{3/2} = (a^{1/2})^{3} = (\sqrt{a})^{3}. Então
9^{3/2} = (\sqrt{9})^{3} = 3^{3} = 27,
e
1^{3/2} = 1.
Substituindo,
\frac{1}{3}\left[9^{3/2}-1^{3/2}\right] = \frac{1}{3}(27-1) = \frac{26}{3}.

Resposta

\dfrac{26}{3}

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