Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(z+e^{x^{2}}, y^{2}+\ln \left(1+y^{2}\right), x^{2}+\sin ^{3} z\right) e \alpha é a curva parametrizada por \vec{\alpha}(t)=(\cos t, \sin t, \cos t+\sin t). O sentido de percurso de \alpha é tal que sua projeção no plano x y é percorrida no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
A curva é fechada (volta ao ponto inicial ao completar um período) e a projeção no plano xy é o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. O enunciado diz que a projeção no plano xy é percorrida no sentido horário. O objetivo é obter o valor numérico da integral de linha ao longo dessa curva com essa orientação.
Passo 2
Vou escolher um método adequado. Uma forma direta seria substituir \vec{\alpha}(t) em \vec{F}, calcular \vec{\alpha}'(t) e integrar \vec{F}(\vec{\alpha}(t))\cdot\vec{\alpha}'(t) em t. Isso daria muitas funções complicadas (exponencial, log, \sin^{3} de combinação), tornando as contas pesadas.
Outra opção é usar o teorema de Stokes porque a curva é fechada e está contida num plano simples (z=x+y), portanto é natural escolher a superfície plana limitada por \alpha. O teorema de Stokes diz, em palavras simples: a integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S de uma superfície S é igual à integral de superfície do rotacional (\nabla\times\vec{F}) sobre S, ou seja
onde \vec{n} é a normal orientada de acordo com o sentido de percurso da fronteira (regra da mão direita). Vou aplicar Stokes porque o rotacional de \vec{F} fica bem simples e a superfície escolhida (o disco plano sobre x^{2}+y^{2}\le 1 na reta z=x+y) tem parametrização fácil.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com
Escolher e parametrizar a superfície S limitada por \alpha. A curva \alpha está na superfície plana z=x+y e a projeção no plano xy é o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Então uma parametrização conveniente de S é
\vec{r}(x,y)=(x,\;y,\;x+y),\qquad (x,y)\in D.
As derivadas parciais são
\vec{r}_{x}=(1,0,1),\qquad \vec{r}_{y}=(0,1,1).
O produto vetorial dá um vetor normal (não normalizado) à superfície:
Orientação: a escolha do sinal do vetor \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} determina o sentido positivo da fronteira \partial S pela regra da mão direita. O terceiro componente de \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} é +1, o que corresponde, ao projetar no plano xy, à orientação contrária ao sentido horário (isto é, corresponde à orientação contrária ao sentido fornecido). Como o enunciado exige que a projeção seja percorrida no sentido horário, a orientação da fronteira usada pelo vetor \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} está invertida relativamente à que queremos. Portanto a integral de linha pedida é o negativo da integral de superfície calculada com \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}. Em fórmulas: