Questāo 11:

Calcule \int_{\alpha} \vec{F} \cdot d \vec{\alpha}, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(z+e^{x^{2}}, y^{2}+\ln \left(1+y^{2}\right), x^{2}+\sin ^{3} z\right) e \alpha é a curva parametrizada por \vec{\alpha}(t)=(\cos t, \sin t, \cos t+\sin t). O sentido de percurso de \alpha é tal que sua projeção no plano x y é percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha},
onde a campo vetorial e a curva são dadas por
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(z+e^{x^{2}},\;y^{2}+\ln(1+y^{2}),\;x^{2}+\sin^{3}z\bigr)
e
\vec{\alpha}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;\cos t+\sin t).
A curva é fechada (volta ao ponto inicial ao completar um período) e a projeção no plano xy é o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. O enunciado diz que a projeção no plano xy é percorrida no sentido horário. O objetivo é obter o valor numérico da integral de linha ao longo dessa curva com essa orientação.

Passo 2

Vou escolher um método adequado. Uma forma direta seria substituir \vec{\alpha}(t) em \vec{F}, calcular \vec{\alpha}'(t) e integrar \vec{F}(\vec{\alpha}(t))\cdot\vec{\alpha}'(t) em t. Isso daria muitas funções complicadas (exponencial, log, \sin^{3} de combinação), tornando as contas pesadas.
Outra opção é usar o teorema de Stokes porque a curva é fechada e está contida num plano simples ( z=x+y), portanto é natural escolher a superfície plana limitada por \alpha. O teorema de Stokes diz, em palavras simples: a integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S de uma superfície S é igual à integral de superfície do rotacional ( \nabla\times\vec{F}) sobre S, ou seja
\int_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde \vec{n} é a normal orientada de acordo com o sentido de percurso da fronteira (regra da mão direita). Vou aplicar Stokes porque o rotacional de \vec{F} fica bem simples e a superfície escolhida (o disco plano sobre x^{2}+y^{2}\le 1 na reta z=x+y) tem parametrização fácil.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(P,Q,R) com
P=z+e^{x^{2}},\qquad Q=y^{2}+\ln(1+y^{2}),\qquad R=x^{2}+\sin^{3}z,
o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Agora as derivadas parciais (lembrando que x,y,z são variáveis independentes ao calcular o rotacional):
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,
\frac{\partial P}{\partial z}=1,\qquad \frac{\partial R}{\partial x}=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0.
Substituindo:
\nabla\times\vec{F}=(0-0,\;1-2x,\;0-0)=(0,\;1-2x,\;0).

Passo 4

Escolher e parametrizar a superfície S limitada por \alpha. A curva \alpha está na superfície plana z=x+y e a projeção no plano xy é o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Então uma parametrização conveniente de S é
\vec{r}(x,y)=(x,\;y,\;x+y),\qquad (x,y)\in D.
As derivadas parciais são
\vec{r}_{x}=(1,0,1),\qquad \vec{r}_{y}=(0,1,1).
O produto vetorial dá um vetor normal (não normalizado) à superfície:
\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =(-1,\,-1,\,1).

Passo 5

Orientação: a escolha do sinal do vetor \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} determina o sentido positivo da fronteira \partial S pela regra da mão direita. O terceiro componente de \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} é +1, o que corresponde, ao projetar no plano xy, à orientação contrária ao sentido horário (isto é, corresponde à orientação contrária ao sentido fornecido). Como o enunciado exige que a projeção seja percorrida no sentido horário, a orientação da fronteira usada pelo vetor \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y} está invertida relativamente à que queremos. Portanto a integral de linha pedida é o negativo da integral de superfície calculada com \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}. Em fórmulas:
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}= -\,\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y})\,dA.

Passo 6

Calcular o produto escalar do rotacional com \vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}:
(\nabla\times\vec{F})\cdot(\vec{r}_{x}\times\vec{r}_{y}) =(0,\;1-2x,\;0)\cdot(-1,\,-1,\,1)=0\cdot(-1)+(1-2x)\cdot(-1)+0\cdot1=-1+2x.
Assim
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{r}= -\,\iint_{D}\bigl(-1+2x\bigr)\,dA=\iint_{D}\bigl(1-2x\bigr)\,dA.

Passo 7

Avaliar a integral dupla sobre o disco unitário D. Separando termos:
\iint_{D}\bigl(1-2x\bigr)\,dA=\iint_{D}1\,dA-2\iint_{D}x\,dA.
O primeiro termo é a área do disco unitário:
\iint_{D}1\,dA=\pi(1)^{2}=\pi.
O segundo termo é zero por simetria: o domínio D é simétrico em relação ao eixo y, e a função x é ímpar em x, logo
\iint_{D}x\,dA=0.
Portanto
\iint_{D}\bigl(1-2x\bigr)\,dA=\pi-2\cdot 0=\pi.

Passo 8

Concluir que o valor da integral pedida é
\int_{\alpha}\vec{F}\cdot d\vec{\alpha}=\pi.

Resposta

\pi

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