Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
As informações relevantes que temos:
- O integrando é uma função racional
. - O denominador já está fatorado em um fator linear
e um quadrático irreduzível . - A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função.
Passo 2
Método escolhido: decomposição em frações parciais. Explico por que:
- Para integrar uma função racional cujo denominador é produto de fatores simples (lineares ou quadráticos irreduzíveis), é eficiente escrever a função como soma de frações mais simples cuja primitiva é conhecida.
- Aqui o grau do numerador (
) é menor que o do denominador ( ), então a fração já é própria e podemos aplicar a decomposição diretamente.
A forma geral da decomposição, devido aos fatorese , é
onde
são constantes desconhecidas que vamos determinar.
Passo 3
Determinar
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Expando o lado direito:
Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda,
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: , ou seja, . - Termo constante:
.
Substituindo
e
(da primeira equação) na equação do termo constante:
Assim
e
Então
e
.
Passo 4
Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
Separando os termos para facilitar a integração:
Passo 5
Integrar termo a termo, explicando as fórmulas usadas.
- Integral de
:
- Fórmula:
.
Aplicando,
- Integral de
:
- Técnica: substituição simples. Tome
, então . - Portanto
Observação:
sempre, então podemos escrever
sem barras de valor absoluto.
- Integral de
:
- Usar a fórmula
. - Aqui
, logo . Assim
Somando as três primitivas (e agrupando a constante de integração em um único
), obtemos a primitiva da função original: