Calcular as integrais:
\int \frac{x^{2}-6}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)} \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-6}{\left(x^{2}+4\right)(x-1)}\,\mathrm{d}x.
As informações relevantes que temos:
  • O integrando é uma função racional \dfrac{x^{2}-6}{(x^{2}+4)(x-1)}.
  • O denominador já está fatorado em um fator linear (x-1) e um quadrático irreduzível x^{2}+4.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função.

Passo 2

Método escolhido: decomposição em frações parciais. Explico por que:
  • Para integrar uma função racional cujo denominador é produto de fatores simples (lineares ou quadráticos irreduzíveis), é eficiente escrever a função como soma de frações mais simples cuja primitiva é conhecida.
  • Aqui o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), então a fração já é própria e podemos aplicar a decomposição diretamente.
    A forma geral da decomposição, devido aos fatores (x-1) e (x^{2}+4), é
\frac{x^{2}-6}{(x^{2}+4)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C são constantes desconhecidas que vamos determinar.

Passo 3

Determinar A,B,C. Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^{2}+4) obtemos a identidade polinomial
x^{2}-6 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-1).
Expando o lado direito:
A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x-1) = A x^{2} + 4A + (Bx+C)x - (Bx+C)
= A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x - B x - C
= (A+B)x^{2} + (-B+C)x + (4A - C).
Agora igualamos coeficientes do polinômio à esquerda, x^{2}-6 = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + (-6):
  • Coeficiente de x^{2}: 1 = A + B.
  • Coeficiente de x: 0 = -B + C, ou seja, C=B.
  • Termo constante: -6 = 4A - C.
Substituindo C=B e B=1-A (da primeira equação) na equação do termo constante:
-6 = 4A - B = 4A - (1 - A) = 5A - 1.
Assim 5A = -5 e
A = -1.
Então B = 1 - A = 1 - (-1) = 2 e C = B = 2.

Passo 4

Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{x^{2}-6}{(x^{2}+4)(x-1)} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2x+2}{x^{2}+4}.
Separando os termos para facilitar a integração:
\frac{-1}{x-1} + \frac{2x+2}{x^{2}+4} = -\frac{1}{x-1} + \frac{2x}{x^{2}+4} + \frac{2}{x^{2}+4}.

Passo 5

Integrar termo a termo, explicando as fórmulas usadas.
  1. Integral de -\dfrac{1}{x-1}:
  • Fórmula: \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,\mathrm{d}x = \ln|x-a| + C.
    Aplicando,
\int -\frac{1}{x-1}\,\mathrm{d}x = -\ln|x-1|.
  1. Integral de \dfrac{2x}{x^{2}+4}:
  • Técnica: substituição simples. Tome u = x^{2}+4, então \mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x.
  • Portanto
\int \frac{2x}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \ln|u| + C = \ln(x^{2}+4).
Observação: x^{2}+4>0 sempre, então podemos escrever \ln(x^{2}+4) sem barras de valor absoluto.
  1. Integral de \dfrac{2}{x^{2}+4}:
  • Usar a fórmula \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
  • Aqui a^{2}=4, logo a=2. Assim
\int \frac{2}{x^{2}+4}\,\mathrm{d}x = 2\cdot\int \frac{1}{x^{2}+2^{2}}\,\mathrm{d}x = 2\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) = \arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Somando as três primitivas (e agrupando a constante de integração em um único C), obtemos a primitiva da função original:
-\ln|x-1| + \ln(x^{2}+4) + \arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Resposta

\ln(x^{2}+4)-\ln|x-1|+\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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