O denominador é o produto de duas quadráticas:x^{2}-4x+29 \quad\text{e}\quad x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Trata-se de uma integral racional (grau do numerador < grau do denominador), portanto é apropriado usar decomposição em frações parciais e integrar termo a termo.
Passo 2
Escolhemos decompor em frações parciais. Como x^{2}-4x+29 é irreducível sobre os reais (tem discriminante negativo) e (x-2)^{2} é um fator linear duplo, a forma geral da decomposição é
Comparando coeficientes dos polinómios (lado esquerdo tem coeficientes -1 para x^{3}, 0 para x^{2}, 8 para x e -11 para a constante) obtemos o sistema linear
Para \displaystyle\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x uso a identidade x=\tfrac{1}{2}(2x-4)+2, porque 2x-4 é a derivada de D. Assim
\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{D}\,\mathrm{d}x+2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\ln D +2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.
Passo 8
Calculo \displaystyle\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x. Com a substituição t=x-2 (então \mathrm{d}t=\mathrm{d}x) temos
Agora juntamos as contribuições dos dois primeiros termos:
Do termo com x/D:
-\frac{21}{25}\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x =-\frac{21}{25}\Big(\frac{1}{2}\ln D +2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x\Big) =-\frac{21}{50}\ln D -\frac{42}{25}\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.
Do termo com 1/D:
-\frac{21}{5}\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.
Somando os dois coeficientes de \int \frac{1}{D}\,\mathrm{d}x: