Calcular as integrais:
\int \frac{-x^{3}+8 x-11}{\left(x^{2}-4 x+29\right)\left(x^{2}-4 x+4\right)} \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{-x^{3}+8 x-11}{\left(x^{2}-4 x+29\right)\left(x^{2}-4 x+4\right)}\,\mathrm{d}x.
Informações extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinómio -x^{3}+8x-11.
  • O denominador é o produto de duas quadráticas: x^{2}-4x+29 \quad\text{e}\quad x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
  • Trata-se de uma integral racional (grau do numerador < grau do denominador), portanto é apropriado usar decomposição em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Escolhemos decompor em frações parciais. Como x^{2}-4x+29 é irreducível sobre os reais (tem discriminante negativo) e (x-2)^{2} é um fator linear duplo, a forma geral da decomposição é
\frac{-x^{3}+8x-11}{(x^{2}-4x+29)(x-2)^{2}} = \frac{Ax+B}{x^{2}-4x+29}+\frac{E}{x-2}+\frac{F}{(x-2)^{2}},
onde A,B,E,F são constantes a determinar. Vou agora multiplicar ambos os lados pelo denominador para obter uma identidade polinomial.

Passo 3

Multiplicando por (x^{2}-4x+29)(x-2)^{2} obtemos
-x^{3}+8x-11=(Ax+B)(x-2)^{2}+E(x^{2}-4x+29)(x-2)+F(x^{2}-4x+29).
Calculo as expansões termo a termo.
Primeiro, (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4 então
(Ax+B)(x-2)^{2}=A x^{3}+(-4A+B)x^{2}+(4A-4B)x+4B.
Segundo,
E(x^{2}-4x+29)(x-2)=E\big(x^{3}-6x^{2}+37x-58\big)=E x^{3}-6E x^{2}+37E x-58E.
Terceiro,
F(x^{2}-4x+29)=F x^{2}-4F x+29F.
Somando tudo:
\begin{aligned} -x^{3}+8x-11 &= (A+E)x^{3} +\big(-4A+B-6E+F\big)x^{2}\\\ &\qquad +\big(4A-4B+37E-4F\big)x +\big(4B-58E+29F\big). \end{aligned}

Passo 4

Comparando coeficientes dos polinómios (lado esquerdo tem coeficientes -1 para x^{3}, 0 para x^{2}, 8 para x e -11 para a constante) obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+E=-1,\\[4pt] -4A+B-6E+F=0,\\[4pt] 4A-4B+37E-4F=8,\\[4pt] 4B-58E+29F=-11. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação
E=-1-A.
Substituo nas demais. Calculo os termos envolvendo E:
-6E=6+6A,\qquad 37E=-37-37A,\qquad -58E=58+58A.
A segunda equação fica
-4A+B+(6+6A)+F=0 \quad\Rightarrow\quad B+F+2A=-6. \tag{1}
A terceira:
4A-4B+(-37-37A)-4F=8 \quad\Rightarrow\quad 33A+4B+4F=-45. \tag{2}
A quarta:
4B+29F+58+58A=-11 \quad\Rightarrow\quad 4B+29F+58A=-69. \tag{3}
Da equação (1) isolamos B:
B=-6-2A-F.
Substituo em (3):
4(-6-2A-F)+29F+58A=-69.
Calculando:
-24-8A-4F+29F+58A=-69 \Rightarrow 50A+25F=-45 \Rightarrow 2A+F=-\tfrac{9}{5}.
Mas vou trabalhar com frações por 25 para evitar decimais: multiplico por 25:
50A+25F=-225 \Rightarrow 2A+F=-\tfrac{9}{5}.
É conveniente usar o sistema com (1) e (2) substituindo B. Substituindo B em (2):
33A+4(-6-2A-F)+4F=-45
33A-24-8A-4F+4F=-45 \Rightarrow 25A-24=-45 \Rightarrow 25A=-21 \Rightarrow A=-\frac{21}{25}.
Com A=-\dfrac{21}{25} obtemos
E=-1-A=-1+\frac{21}{25}=-\frac{4}{25}.
Agora uso (1): B+F+2A=-6. Substituindo A:
B+F+2\Big(-\frac{21}{25}\Big)=-6 \Rightarrow B+F=-6+\frac{42}{25}=-\frac{108}{25}.
E uso (3) (forma 4B+29F+58A=-69) com A conhecido:
4B+29F+58\Big(-\frac{21}{25}\Big)=-69 \Rightarrow 4B+29F=-\frac{507}{25}.
Agora substituo B=-\dfrac{108}{25}-F nessa última:
4\Big(-\frac{108}{25}-F\Big)+29F=-\frac{507}{25}
-\frac{432}{25}-4F+29F=-\frac{507}{25}\Rightarrow 25F=-3 \Rightarrow F=-\frac{3}{25}.
Finalmente
B=-\frac{108}{25}-\Big(-\frac{3}{25}\Big)=-\frac{105}{25}=-\frac{21}{5}.
Resumo das constantes:
A=-\frac{21}{25},\quad B=-\frac{21}{5},\quad E=-\frac{4}{25},\quad F=-\frac{3}{25}.

Passo 6

Escrevo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{-x^{3}+8x-11}{(x^{2}-4x+29)(x-2)^{2}} = -\frac{21}{25}\cdot\frac{x}{x^{2}-4x+29}-\frac{21}{5}\cdot\frac{1}{x^{2}-4x+29} -\frac{4}{25}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}}.

Passo 7

Agora integro termo a termo:
\int \frac{-x^{3}+8x-11}{(x^{2}-4x+29)(x-2)^{2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{21}{25}\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x -\frac{21}{5}\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x -\frac{4}{25}\int\frac{1}{x-2}\,\mathrm{d}x -\frac{3}{25}\int\frac{1}{(x-2)^{2}}\,\mathrm{d}x,
onde denotamos D=x^{2}-4x+29.
Antes de integrar, completo o quadrado em D:
D=x^{2}-4x+29=(x-2)^{2}+25.
Para \displaystyle\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x uso a identidade x=\tfrac{1}{2}(2x-4)+2, porque 2x-4 é a derivada de D. Assim
\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{2x-4}{D}\,\mathrm{d}x+2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\ln D +2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.

Passo 8

Calculo \displaystyle\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x. Com a substituição t=x-2 (então \mathrm{d}t=\mathrm{d}x) temos
\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{t^{2}+25}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{5}\arctan\!\left(\frac{t}{5}\right)+C =\frac{1}{5}\arctan\!\left(\frac{x-2}{5}\right)+C.
Agora juntamos as contribuições dos dois primeiros termos:
  • Do termo com x/D:
-\frac{21}{25}\int\frac{x}{D}\,\mathrm{d}x =-\frac{21}{25}\Big(\frac{1}{2}\ln D +2\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x\Big) =-\frac{21}{50}\ln D -\frac{42}{25}\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.
  • Do termo com 1/D:
-\frac{21}{5}\int\frac{1}{D}\,\mathrm{d}x.
Somando os dois coeficientes de \int \frac{1}{D}\,\mathrm{d}x:
-\frac{42}{25}-\frac{21}{5}=-\frac{42}{25}-\frac{105}{25}=-\frac{147}{25}.
Logo a parte com \arctan será -\dfrac{147}{25}\cdot\dfrac{1}{5}\arctan\!\big(\dfrac{x-2}{5}\big)=-\dfrac{147}{125}\arctan\!\big(\dfrac{x-2}{5}\big).

Passo 9

Calculo os restantes integrais simples:
-\frac{4}{25}\int\frac{1}{x-2}\,\mathrm{d}x=-\frac{4}{25}\ln|x-2|,
-\frac{3}{25}\int\frac{1}{(x-2)^{2}}\,\mathrm{d}x =-\frac{3}{25}\big(-\frac{1}{x-2}\big)=\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{x-2}.

Passo 10

Reunindo todas as partes, obtemos a primitiva:
\int \frac{-x^{3}+8x-11}{(x^{2}-4x+29)(x-2)^{2}}\,\mathrm{d}x =-\frac{21}{50}\ln\big(x^{2}-4x+29\big) -\frac{147}{125}\arctan\!\left(\frac{x-2}{5}\right) -\frac{4}{25}\ln|x-2| +\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{x-2}+C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

-\frac{21}{50}\ln\big(x^{2}-4x+29\big) -\frac{147}{125}\arctan\!\left(\frac{x-2}{5}\right) -\frac{4}{25}\ln|x-2| +\frac{3}{25}\cdot\frac{1}{x-2}+C

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