Encontre os vértices, focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{36}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação da hipérbole
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{36}=1
e pede:
  • encontrar os vértices;
  • encontrar os focos;
  • encontrar as assíntotas;
  • esboçar o gráfico (orientações de desenho).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A hipérbole está escrita numa forma padrão centrada na origem.
  • O termo positivo é o de y^{2}, portanto a hipérbole tem eixo transverse vertical (os ramos abrem para cima e para baixo).
  • Os denominadores 16 e 36 serão usados para identificar os parâmetros da hipérbole.

Passo 2

Identificar a forma padrão e os parâmetros a e b.
A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverse vertical é
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
onde:
  • a>0 é o semi-eixo transverse (distância do centro ao(s) vértice(s) ao longo do eixo y);
  • b>0 é o semi-eixo conjugado (relacionado ao “tamanho” da abertura da hipérbole na direção x).
Comparando com a equação dada, temos
a^{2}=16,\qquad b^{2}=36.
Portanto
a=4,\qquad b=6.
Explicação curta: a^{2} é o denominador do termo positivo ( y^{2}) e b^{2} é o denominador do termo negativo ( x^{2}) nesta forma.

Passo 3

Encontrar o centro e os vértices.
Para hipérboles na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 com centro na origem, o centro é (0,0).
Os vértices estão localizados ao longo do eixo transverse (aqui o eixo y), a uma distância a do centro. Então os vértices são
(0,a)\quad\text{e}\quad(0,-a).
Substituindo a=4, obtemos os vértices
(0,4)\quad\text{e}\quad(0,-4).
Breve justificativa: num ponto vértice a hipérbole tem x=0 e a equação vira y^{2}/a^{2}=1\Rightarrow y=\pm a.

Passo 4

Calcular a distância focal c e os focos.
Para hipérboles vale a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2},
onde c>0 é a distância do centro a cada foco (os focos ficam no mesmo eixo transverse).
Substituindo a^{2}=16 e b^{2}=36:
c^{2}=16+36=52.
Logo
c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\approx 7,21.
Os focos ficam no eixo y (porque a hipérbole abre verticalmente), então as coordenadas dos focos são
(0,c)\quad\text{e}\quad(0,-c),
isto é,
\bigl(0,2\sqrt{13}\bigr)\quad\text{e}\quad\bigl(0,-2\sqrt{13}\bigr).
Explicação do porquê: a definição geométrica da hipérbole envolve a diferença das distâncias aos focos e daí surge essa relação entre a,b,c.

Passo 5

Determinar as assíntotas.
Para a hipérbole na forma \dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas passam pelo centro e são dadas por zerar o termo constante (comportamento quando |x| e |y| grandes), ou seja pela equação homogênea
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=0.
Isso implica
\frac{y^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}}{b^{2}}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{a}{b}\,x.
Substituindo a=4 e b=6:
\text{assíntotas:}\qquad y=\pm\frac{4}{6}\,x=\pm\frac{2}{3}\,x.í
Raciocínio simples: as assíntotas são as linhas que a curva se aproxima para |x|\to\infty ou |y|\to\infty; algebricamente obtém-se anulando o termo 1 na equação padrão.

Passo 6

Verificação com alguns pontos e orientação para o esboço.
Podemos calcular alguns pontos para orientar o desenho e ver que os ramos realmente abrem para cima e para baixo entre as assíntotas.
Tomando x=0 obtivemos os vértices y=\pm4.
Tomando x=3:
\frac{y^{2}}{16}-\frac{3^{2}}{36}=1
\frac{y^{2}}{16}-\frac{9}{36}=1
\frac{y^{2}}{16}-\frac{1}{4}=1
\frac{y^{2}}{16}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
y^{2}=16\cdot\frac{5}{4}=20\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{20}\approx\pm4,47.
Tomando x=6:
\frac{y^{2}}{16}-\frac{36}{36}=1\quad\Rightarrow\quad\frac{y^{2}}{16}=2\quad\Rightarrow\quad y^{2}=32\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{32}\approx\pm5,66.
Essas ordens de grandeza mostram que, afastando-se do centro em x positivo, os valores de |y| crescem e os ramos aproximam-se das linhas y=\pm\frac{2}{3}x.
Como desenhar (passo a passo prático):
  • Desenhar os eixos x e y.
  • Marcar o centro (0,0).
  • Marcar os vértices (0,4) e (0,-4).
  • Marcar os focos \bigl(0,2\sqrt{13}\bigr) e \bigl(0,-2\sqrt{13}\bigr).
  • Desenhar as assíntotas y=\pm\frac{2}{3}x como linhas tracejadas pelo plano.
  • Esboçar os dois ramos da hipérbole: um abrindo para cima, passando por (0,4) e aproximando-se da assíntota superior; outro abrindo para baixo, passando por (0,-4) e aproximando-se da assíntota inferior. Use os pontos calculados ( x=3,6, etc.) para guiar a curvatura.
Dica de desenho: construa um retângulo de semi-lados b na horizontal e a na vertical e trace as diagonais; para hipérboles centradas na origem essas diagonais têm as inclinações das assíntotas (a técnica é mais direta quando a hipérbole é da forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, mas a ideia de usar a e b como guias vale aqui também).

Resposta

Vértices: (0,4) e (0,-4)
Focos: \bigl(0,2\sqrt{13}\bigr) e \bigl(0,-2\sqrt{13}\bigr) ( \approx(0,7,21) e \approx(0,-7,21))
Assíntotas: y=\dfrac{2}{3}x e y=-\dfrac{2}{3}x

Exercícios relacionados