Encontre os vértices, focos e as assíntotas da hipérbole e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a equação da hipérbole
e pede:
- encontrar os vértices;
- encontrar os focos;
- encontrar as assíntotas;
- esboçar o gráfico (orientações de desenho).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A hipérbole está escrita numa forma padrão centrada na origem.
- O termo positivo é o de
, portanto a hipérbole tem eixo transverse vertical (os ramos abrem para cima e para baixo). - Os denominadores
e serão usados para identificar os parâmetros da hipérbole.
Passo 2
Identificar a forma padrão e os parâmetros
e
.
A forma padrão de uma hipérbole com eixo transverse vertical é
onde:
-
é o semi-eixo transverse (distância do centro ao(s) vértice(s) ao longo do eixo ); -
é o semi-eixo conjugado (relacionado ao “tamanho” da abertura da hipérbole na direção ).
Comparando com a equação dada, temos
Portanto
Explicação curta:
é o denominador do termo positivo (
) e
é o denominador do termo negativo (
) nesta forma.
Passo 3
Encontrar o centro e os vértices.
Para hipérboles na forma
com centro na origem, o centro é
.
Os vértices estão localizados ao longo do eixo transverse (aqui o eixo
), a uma distância
do centro. Então os vértices são
Substituindo
, obtemos os vértices
Breve justificativa: num ponto vértice a hipérbole tem
e a equação vira
.
Passo 4
Calcular a distância focal
e os focos.
Para hipérboles vale a relação
onde
é a distância do centro a cada foco (os focos ficam no mesmo eixo transverse).
Substituindo
e
:
Logo
Os focos ficam no eixo
(porque a hipérbole abre verticalmente), então as coordenadas dos focos são
isto é,
Explicação do porquê: a definição geométrica da hipérbole envolve a diferença das distâncias aos focos e daí surge essa relação entre
.
Passo 5
Determinar as assíntotas.
Para a hipérbole na forma
as assíntotas passam pelo centro e são dadas por zerar o termo constante (comportamento quando
e
grandes), ou seja pela equação homogênea
Isso implica
Substituindo
e
:
Raciocínio simples: as assíntotas são as linhas que a curva se aproxima para
ou
; algebricamente obtém-se anulando o termo
na equação padrão.
Passo 6
Verificação com alguns pontos e orientação para o esboço.
Podemos calcular alguns pontos para orientar o desenho e ver que os ramos realmente abrem para cima e para baixo entre as assíntotas.
Tomando
obtivemos os vértices
.
Tomando
:
Tomando
:
Essas ordens de grandeza mostram que, afastando-se do centro em
positivo, os valores de
crescem e os ramos aproximam-se das linhas
.
Como desenhar (passo a passo prático):
- Desenhar os eixos
e . - Marcar o centro
. - Marcar os vértices
e . - Marcar os focos
e . - Desenhar as assíntotas
como linhas tracejadas pelo plano. - Esboçar os dois ramos da hipérbole: um abrindo para cima, passando por
e aproximando-se da assíntota superior; outro abrindo para baixo, passando por e aproximando-se da assíntota inferior. Use os pontos calculados ( , etc.) para guiar a curvatura.
Dica de desenho: construa um retângulo de semi-lados
na horizontal e
na vertical e trace as diagonais; para hipérboles centradas na origem essas diagonais têm as inclinações das assíntotas (a técnica é mais direta quando a hipérbole é da forma
, mas a ideia de usar
e
como guias vale aqui também).
Resposta
Vértices:
e
Focos: e
(
e
)
Assíntotas: e
Focos:
Assíntotas: