Calcular as integrais:
\int \frac{4 y}{\left(2-3 y^{2}\right)^{6}} \mathrm{~d} y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Calcular a integral indefinida
\int \frac{4\,y}{\left(2-3 y^{2}\right)^{6}}\,\mathrm{d}y.
  • Informação relevante: integrando é uma função racional composta envolvendo y multiplicado por uma potência de uma expressão quadrática em y.

Passo 2

Ideia de método (explicação didática do porquê usar substituição).
  • Quando vemos uma expressão do tipo \text{algo}'(y)\cdot (\text{algo}(y))^{n}, é muito útil fazer a substituição u=\text{algo}(y). Isso transforma a integral em uma potência simples de u, que sabemos integrar com a regra do polinômio.
  • Aqui, a “algo” que aparece elevado é 2-3y^{2}. Então tentamos a substituição
u = 2 - 3y^{2}.
  • Agora devemos relacionar \mathrm{d}u com \mathrm{d}y. Derivando,
\mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(2-3y^{2})\,\mathrm{d}y = (-6y)\,\mathrm{d}y.
  • Logo podemos isolar y\,\mathrm{d}y:
y\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{6}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Substituir na integral e simplificar (passo-a-passo das contas).
  • A integral original é
\int \frac{4\,y}{\left(2-3 y^{2}\right)^{6}}\,\mathrm{d}y.
  • Usando u=2-3y^{2} e y\,\mathrm{d}y = -\dfrac{1}{6}\,\mathrm{d}u, substituímos:
\int \frac{4\,y}{u^{6}}\,\mathrm{d}y = 4\int \frac{y\,\mathrm{d}y}{u^{6}} = 4\int \frac{-\dfrac{1}{6}\,\mathrm{d}u}{u^{6}}.
  • Simplificando o coeficiente:
4\left(-\dfrac{1}{6}\right)= -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3},
portanto
\int \frac{4\,y}{\left(2-3 y^{2}\right)^{6}}\,\mathrm{d}y = -\dfrac{2}{3}\int u^{-6}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Integrar usando a regra da potência (explicando a fórmula).
  • Regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui temos n=-6. Então
\int u^{-6}\,\mathrm{d}u = \frac{u^{-5}}{-5}.
  • Multiplicando pelo fator -\dfrac{2}{3} que estava fora da integral:
-\dfrac{2}{3}\cdot\frac{u^{-5}}{-5} = -\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)u^{-5} = \dfrac{2}{15}u^{-5}.

Passo 5

Voltar à variável original y e escrever a primitiva final (lembrando da constante de integração).
  • Substituindo u=2-3y^{2} de volta:
\text{Primitiva} = \dfrac{2}{15}\,u^{-5} + C = \dfrac{2}{15}\left(2-3y^{2}\right)^{-5} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mostra que o resultado está correto).
  • Derivando a primitiva encontrada:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left[\dfrac{2}{15}\left(2-3y^{2}\right)^{-5}\right] = \dfrac{2}{15}\cdot(-5)\left(2-3y^{2}\right)^{-6}\cdot(-6y).
  • Simplificando os coeficientes:
\dfrac{2}{15}\cdot(-5)\cdot(-6y)=\dfrac{2}{15}\cdot 30y = 4y,
portanto a derivada é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left[\dfrac{2}{15}\left(2-3y^{2}\right)^{-5}\right] = \frac{4y}{\left(2-3y^{2}\right)^{6}},
que coincide com o integrando. Verificação concluída.

Resposta

\dfrac{2}{15}\left(2-3y^{2}\right)^{-5}+C

Exercícios relacionados