Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Calcular a integral indefinida
- Informação relevante: integrando é uma função racional composta envolvendo
multiplicado por uma potência de uma expressão quadrática em .
Passo 2
Ideia de método (explicação didática do porquê usar substituição).
- Quando vemos uma expressão do tipo
, é muito útil fazer a substituição . Isso transforma a integral em uma potência simples de , que sabemos integrar com a regra do polinômio. - Aqui, a “algo” que aparece elevado é
. Então tentamos a substituição
- Agora devemos relacionar
com . Derivando,
- Logo podemos isolar
:
Passo 3
Substituir na integral e simplificar (passo-a-passo das contas).
- A integral original é
- Usando
e , substituímos:
- Simplificando o coeficiente:
portanto
Passo 4
Integrar usando a regra da potência (explicando a fórmula).
- Regra da potência para integrais: para
,
- Aqui temos
. Então
- Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Voltar à variável original
e escrever a primitiva final (lembrando da constante de integração).
- Substituindo
de volta:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mostra que o resultado está correto).
- Derivando a primitiva encontrada:
- Simplificando os coeficientes:
portanto a derivada é
que coincide com o integrando. Verificação concluída.