Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre o método: aqui cabe muito bem a substituição simples (método da mudança de variável). A ideia é identificar dentro do integrando uma função composta do tipo
cuja derivada aparece multiplicando-a, porque aí podemos transformar a integral em uma mais simples em termos de uma nova variável
.
Regra utilizada (explicada): se temos uma integral da forma
então, fazendo
e
, obtemos
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função interna da composição; -
é a derivada de em relação a ; -
é a nova variável ; -
é o diferencial de .
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso integrando: a parte interna visível é
. Então faço a substituição
Calculo o diferencial
:
Isolando
(porque é isso que multiplica o cosseno no integrando):
Passo 4
Substituo na integral original usando
e
:
Agora integro
. Lembrete: a derivada de
é
, portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando para a variável
(desfazendo a substituição
):
Passo 6
Verificação rápida (checagem): derivando a resposta obtemos
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.