Calcular as integrais:
\int x \cos \left(10 x^{2}+3\right) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int x \cos\!\left(10 x^{2}+3\right)\mathrm{d}x.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é x \cos\!\left(10 x^{2}+3\right).
  • Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então o resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre o método: aqui cabe muito bem a substituição simples (método da mudança de variável). A ideia é identificar dentro do integrando uma função composta do tipo f(g(x)) cuja derivada aparece multiplicando-a, porque aí podemos transformar a integral em uma mais simples em termos de uma nova variável u.
Regra utilizada (explicada): se temos uma integral da forma
\int f\!\big(g(x)\big)\,g'(x)\,\mathrm{d}x,
então, fazendo u=g(x) e \mathrm{d}u=g'(x)\,\mathrm{d}x, obtemos
\int f\!\big(g(x)\big)\,g'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u.
Aqui cada símbolo significa:
  • g(x) é a função interna da composição;
  • g'(x) é a derivada de g em relação a x;
  • u é a nova variável u=g(x);
  • \mathrm{d}u é o diferencial de u.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso integrando: a parte interna visível é 10 x^{2}+3. Então faço a substituição
u=10 x^{2}+3.
Calculo o diferencial \mathrm{d}u:
\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(10 x^{2}+3\big)\,\mathrm{d}x=(20x)\,\mathrm{d}x.
Isolando x\,\mathrm{d}x (porque é isso que multiplica o cosseno no integrando):
x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{20}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Substituo na integral original usando u e \mathrm{d}u:
\int x \cos\!\left(10 x^{2}+3\right)\mathrm{d}x = \int \cos(u)\left(\frac{1}{20}\,\mathrm{d}u\right) = \frac{1}{20}\int \cos(u)\,\mathrm{d}u.
Agora integro \cos(u). Lembrete: a derivada de \sin(u) é \cos(u), portanto
\int \cos(u)\,\mathrm{d}u=\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando para a variável x (desfazendo a substituição u=10 x^{2}+3):
\frac{1}{20}\int \cos(u)\,\mathrm{d}u=\frac{1}{20}\sin(u)+C = \frac{1}{20}\sin\!\big(10 x^{2}+3\big)+C.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): derivando a resposta obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{1}{20}\sin\!\big(10 x^{2}+3\big)\right] =\frac{1}{20}\cos\!\big(10 x^{2}+3\big)\cdot(20x) = x\cos\!\big(10 x^{2}+3\big),
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}\sin\!\big(10 x^{2}+3\big)+C

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