Calcular as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pede-se calcular a integral
- Informação importante implícita: a raiz quadrada exige
, ou seja e portanto . Como para todo , o argumento da raiz força (isto será útil ao usar funções inversas como ).
Não se resolve nada neste passo — só listei o que é pedido e a condição natural da integral.
Passo 2
Escolher uma substituição simples para simplificar a expressão
e o fator
.
Observação:
. Isso sugere tomar uma nova variável que seja
, porque aí
e o fator
aparece naturalmente ao derivar
.
Faço a substituição
Passo 3
Calcular
e reescrever a integral em
.
Derivando
obtemos
Isolando
dá
Substituindo
e
na integral original:
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 4
Integrar
usando substituição trigonométrica e explicar por que ela funciona.
Motivação: para expressões da forma
é padrão usar
, porque então
e a raiz fica
, que simplifica muito.
Faço a substituição trigonométrica
Então
onde aqui tomo
porque a raiz principal é não-negativa (isso é compatível com
e
).
Substituindo na integral em
:
Passo 5
Calcular
e voltar para
.
Usa-se a identidade de ângulo duplo para
:
Portanto
Calculando as primitivas:
Então
onde
é constante de integração.
Agora escrevemos
em termos de
e
:
Logo
Voltando para
: como
e
, e
, obtemos
Observação: esta expressão é uma primitiva padrão; podia também ser lembrada diretamente como fórmula conhecida
mas aqui a deduzi passo a passo para ficar claro.
Passo 6
Retornar à variável
e terminar a integral original.
Lembrando que a integral original virou
, multiplico a primitiva encontrada por
:
Simplificando o fator
:
Por fim, substituindo
:
Lembrete sobre domínio: esta expressão usa
, que é válida quando
, exatamente a condição imposta por
. Se estiver trabalhando em contexto onde
faz
, a integral original é complexa (a raiz fica imaginária); aqui assumimos o domínio real onde a integral foi originalmente definida.