Calcular as integrais:
\int e^{3 x} \sqrt{1-e^{6 x}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pede-se calcular a integral
\int e^{3x}\sqrt{1-e^{6x}}\,\mathrm{d}x.
  • Informação importante implícita: a raiz quadrada exige 1-e^{6x}\ge 0, ou seja e^{6x}\le 1 e portanto e^{3x}\le 1. Como e^{3x}>0 para todo x, o argumento da raiz força 0<e^{3x}\le 1 (isto será útil ao usar funções inversas como \arcsin).
Não se resolve nada neste passo — só listei o que é pedido e a condição natural da integral.

Passo 2

Escolher uma substituição simples para simplificar a expressão e^{6x} e o fator e^{3x}\,\mathrm{d}x.
Observação: e^{6x}=(e^{3x})^{2}. Isso sugere tomar uma nova variável que seja u=e^{3x}, porque aí e^{6x}=u^{2} e o fator e^{3x}\,\mathrm{d}x aparece naturalmente ao derivar u.
Faço a substituição
u = e^{3x}.

Passo 3

Calcular \mathrm{d}u e reescrever a integral em u.
Derivando u=e^{3x} obtemos
\mathrm{d}u = 3 e^{3x}\,\mathrm{d}x.
Isolando e^{3x}\,\mathrm{d}x
e^{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.
Substituindo e^{6x}=u^{2} e e^{3x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u na integral original:
\int e^{3x}\sqrt{1-e^{6x}}\,\mathrm{d}x = \int \sqrt{1-u^{2}}\cdot\frac{1}{3}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u.
Agora reduzimos o problema a calcular \displaystyle \int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Integrar \displaystyle \int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u usando substituição trigonométrica e explicar por que ela funciona.
Motivação: para expressões da forma \sqrt{1-u^{2}} é padrão usar u=\sin\theta, porque então 1-u^{2}=1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta e a raiz fica \cos\theta, que simplifica muito.
Faço a substituição trigonométrica
u=\sin\theta.
Então
\mathrm{d}u=\cos\theta\,\mathrm{d}\theta, \qquad \sqrt{1-u^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\cos\theta,
onde aqui tomo \cos\theta\ge 0 porque a raiz principal é não-negativa (isso é compatível com 0\le u\le 1 e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]).
Substituindo na integral em u:
\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u = \int \cos\theta\cdot(\cos\theta\,\mathrm{d}\theta) = \int \cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta e voltar para u.
Usa-se a identidade de ângulo duplo para \cos^{2}\theta:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
\int \cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\int 1\,\mathrm{d}\theta + \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,\mathrm{d}\theta.
Calculando as primitivas:
\frac{1}{2}\int 1\,\mathrm{d}\theta = \frac{\theta}{2}, \qquad \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2} = \frac{\sin(2\theta)}{4}.
Então
\int \cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C,
onde C é constante de integração.
Agora escrevemos \sin(2\theta) em termos de \sin\theta e \cos\theta:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Logo
\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} = \frac{\theta}{2} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{4} = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}.
Voltando para u: como u=\sin\theta e \cos\theta=\sqrt{1-u^{2}}, e \theta=\arcsin u, obtemos
\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{\arcsin u}{2} + \frac{u\sqrt{1-u^{2}}}{2} + C.
Observação: esta expressão é uma primitiva padrão; podia também ser lembrada diretamente como fórmula conhecida
\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\bigl(u\sqrt{1-u^{2}}+\arcsin u\bigr)+C,
mas aqui a deduzi passo a passo para ficar claro.

Passo 6

Retornar à variável x e terminar a integral original.
Lembrando que a integral original virou \dfrac{1}{3}\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u, multiplico a primitiva encontrada por \dfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int \sqrt{1-u^{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\left(\frac{\arcsin u}{2} + \frac{u\sqrt{1-u^{2}}}{2}\right) + C.
Simplificando o fator \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}:
= \frac{1}{6}\arcsin u + \frac{1}{6}u\sqrt{1-u^{2}} + C.
Por fim, substituindo u=e^{3x}:
\int e^{3x}\sqrt{1-e^{6x}}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}\arcsin\bigl(e^{3x}\bigr) + \frac{1}{6} e^{3x}\sqrt{1-e^{6x}} + C.
Lembrete sobre domínio: esta expressão usa \arcsin(e^{3x}), que é válida quando 0<e^{3x}\le 1, exatamente a condição imposta por \sqrt{1-e^{6x}}. Se estiver trabalhando em contexto onde x faz e^{3x}>1, a integral original é complexa (a raiz fica imaginária); aqui assumimos o domínio real onde a integral foi originalmente definida.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\arcsin\bigl(e^{3x}\bigr)+\frac{1}{6}e^{3x}\sqrt{1-e^{6x}}+C

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