Calcular as integrais.
\int_{0}^{1} \frac{d y}{\sqrt{3 y+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{3y+1}}.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{1}{\sqrt{3y+1}},\qquad \text{intervalo de integração: }y\in[0,1].çã
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Observação sobre o integrando: temos uma raiz quadrada de uma expressão linear em y, isto é \sqrt{3y+1}. Uma técnica padrão para esse tipo é fazer a substituição da expressão linear por uma nova variável. Vou usar a substituição
t = 3y+1.
Agora calculemos o diferencial e as novas limites:
dt = 3\,dy \quad\Rightarrow\quad dy = \frac{dt}{3}.
Quando y=0 temos t=3\cdot 0+1=1. Quando y=1 temos t=3\cdot1+1=4.

Passo 3

Substituindo na integral original mudamos as variáveis e os limites. A integral fica
\int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{3y+1}} = \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{4} t^{-1/2}\,dt.
Explicação: \sqrt{3y+1} virou \sqrt{t}=t^{1/2}, portanto 1/\sqrt{3y+1}=t^{-1/2}, e dy foi trocado por dt/3.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da primitiva para potências: para n\neq -1 vale
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Então n+1=\tfrac{1}{2} e
\int t^{-1/2}\,dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\,t^{1/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que estava fora da integral, uma primitiva adequada para \frac{1}{3}t^{-1/2} é
\frac{1}{3}\cdot 2\,t^{1/2} = \frac{2}{3}t^{1/2}.

Passo 5

Aplicando a primitiva nos limites t=1 e t=4 obtemos
\frac{2}{3}\bigl(t^{1/2}\bigr)\Big|_{1}^{4} = \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{1}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(2-1\bigr).

Resposta

\frac{2}{3}

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