Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral definida
Informações dadas:
- A função a ser integrada (integrando) é
. - O intervalo de integração é de
até . - É uma integral definida (tem limites) — queremos o número que representa a área algébrica sob a curva nesse intervalo.
Passo 2
Por que usar substituição?
Aqui temos uma função composta: uma raiz (potência ) aplicada a uma função linear
. Quando vemos algo como
e o derivado interno
é constante, a substituição
costuma simplificar bastante. Vou usar a substituição
Aqui temos uma função composta: uma raiz (potência
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
ou seja
Passo 3
Mudança dos limites de integração e do integrando para a variável
.
Quando , temos
Quando
Quando
, temos
Substituindo
e
na integral original:
Factorizando a constante
para fora,
Passo 4
Integrando usando a regra da potência.
Regra da potência para integrais indefinidas: para ,
Regra da potência para integrais indefinidas: para
Aqui temos
. Então
Voltando à integral definida com o fator
:
Passo 5
Avaliação dos limites e verificação rápida.
Avaliaremos entre
e
:
Avaliaremos
Verificação alternativa (checar antiderivada): a função
tem derivada
portanto
é uma antiderivada válida e
, confirmando o resultado.