Calcular as integrais.
\int_{0}^{4}(2 x+1)^{-1 / 2} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada (integrando) é (2x+1)^{-1/2}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=4.
  • É uma integral definida (tem limites) — queremos o número que representa a área algébrica sob a curva nesse intervalo.

Passo 2

Por que usar substituição?
Aqui temos uma função composta: uma raiz (potência -\tfrac{1}{2}) aplicada a uma função linear 2x+1. Quando vemos algo como f(ax+b) e o derivado interno a é constante, a substituição u = ax+b costuma simplificar bastante. Vou usar a substituição
u = 2x+1.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2\,dx,
ou seja
dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Mudança dos limites de integração e do integrando para a variável u.
Quando x=0, temos
u = 2\cdot 0 + 1 = 1.
Quando x=4, temos
u = 2\cdot 4 + 1 = 9.
Substituindo u e dx na integral original:
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx = \int_{u=1}^{u=9} u^{-1/2}\cdot\frac{du}{2}.
Factorizando a constante \tfrac{1}{2} para fora,
\int_{0}^{4}(2x+1)^{-1/2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Integrando usando a regra da potência.
Regra da potência para integrais indefinidas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui temos n = -\tfrac{1}{2}. Então
\int u^{-1/2}\,du = \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2\,u^{1/2} + C.
Voltando à integral definida com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int_{1}^{9} u^{-1/2}\,du = \frac{1}{2}\left[2\,u^{1/2}\right]_{1}^{9} = \left[u^{1/2}\right]_{1}^{9}.

Passo 5

Avaliação dos limites e verificação rápida.
Avaliaremos u^{1/2}=\sqrt{u} entre u=1 e u=9:
\left[u^{1/2}\right]_{1}^{9} = \sqrt{9}-\sqrt{1} = 3-1 = 2.
Verificação alternativa (checar antiderivada): a função F(x)=\sqrt{2x+1} tem derivada
F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = (2x+1)^{-1/2},
portanto F é uma antiderivada válida e F(4)-F(0)=\sqrt{9}-\sqrt{1}=2, confirmando o resultado.

Resposta

2

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