Calcular as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes do enunciado:
- O intervalo de integração é de
a . - A integranda é
. - Em todo o intervalo
temos , então podemos manipular raízes quadradas sem ambiguidade (por exemplo ).
Passo 2
Vamos simplificar a integranda usando propriedades de raízes. Primeiro, distribuo
sobre a soma:
Agora uso a propriedade
para cada termo.
Passo 3
Calculo cada termo separadamente:
-
Como no intervalo, , então
Portanto a integranda fica
Passo 4
Transformo a raiz em potência para aplicar a regra do poder. Lembre que
. Assim:
Também lembro duas regras essenciais de integração que usarei:
- Linearidade:
, para constantes . - Regra do poder:
, para .
Passo 5
Aplico as regras para encontrar a antiderivada (primitiva) de cada termo:
- Para
: a constante sai da integral e . Logo a primitiva é . - Para
: a constante sai da integral e uso a regra do poder com :
Portanto a primitiva do segundo termo é
.
Somando as primitivas, uma antiderivada da integranda é
Passo 6
Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de
a
:
Calculo
e
:
- Primeiro termo em
:
- Segundo termo em
:
Lembro que
(pois
). Então
E
, logo
- Em
, ambos os termos valem zero, então .
Portanto
Passo 7
Podemos escrever a resposta final tal como obtivemos. Se quiser, fatoramos
para ver outra forma:
mas a forma mais direta e já simplificada é a somatória dos dois termos com radicais.