Calcular as integrais.
\int_{0}^{2} \sqrt{2 x}(\sqrt{x}+\sqrt{5}) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \sqrt{2 x}(\sqrt{x}+\sqrt{5})\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
  • O intervalo de integração é de 0 a 2.
  • A integranda é \sqrt{2 x}(\sqrt{x}+\sqrt{5}).
  • Em todo o intervalo x\in[0,2] temos x\ge 0, então podemos manipular raízes quadradas sem ambiguidade (por exemplo \sqrt{x^2}=x).

Passo 2

Vamos simplificar a integranda usando propriedades de raízes. Primeiro, distribuo \sqrt{2x} sobre a soma:
\sqrt{2x}(\sqrt{x}+\sqrt{5})=\sqrt{2x}\,\sqrt{x}+\sqrt{2x}\,\sqrt{5}.
Agora uso a propriedade \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} para cada termo.

Passo 3

Calculo cada termo separadamente:
  • \sqrt{2x}\,\sqrt{x}=\sqrt{2x\cdot x}=\sqrt{2x^{2}}. Como x\ge 0 no intervalo, \sqrt{x^{2}}=x, então
\sqrt{2x}\,\sqrt{x}=\sqrt{2}\,x.
  • \sqrt{2x}\,\sqrt{5}=\sqrt{10x}=\sqrt{10}\,\sqrt{x}.
Portanto a integranda fica
\sqrt{2}\,x+\sqrt{10}\,\sqrt{x}.

Passo 4

Transformo a raiz em potência para aplicar a regra do poder. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim:
\sqrt{2}\,x+\sqrt{10}\,\sqrt{x}=\sqrt{2}\,x+\sqrt{10}\,x^{1/2}.
Também lembro duas regras essenciais de integração que usarei:
  • Linearidade: \displaystyle\int (a f(x)+b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx, para constantes a,b.
  • Regra do poder: \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, para n\neq -1.

Passo 5

Aplico as regras para encontrar a antiderivada (primitiva) de cada termo:
  • Para \sqrt{2}\,x: a constante \sqrt{2} sai da integral e \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}. Logo a primitiva é \sqrt{2}\,\frac{x^{2}}{2}.
  • Para \sqrt{10}\,x^{1/2}: a constante \sqrt{10} sai da integral e uso a regra do poder com n=1/2:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Portanto a primitiva do segundo termo é \sqrt{10}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}x^{3/2}.
Somando as primitivas, uma antiderivada da integranda é
F(x)=\sqrt{2}\,\frac{x^{2}}{2}+\frac{2\sqrt{10}}{3}x^{3/2}.

Passo 6

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\left(\sqrt{2}\,x+\sqrt{10}\,x^{1/2}\right)dx = F(2)-F(0).
Calculo F(2) e F(0):
  • Primeiro termo em x=2:
\sqrt{2}\,\frac{2^{2}}{2}=\sqrt{2}\,\frac{4}{2}=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}.
  • Segundo termo em x=2:
\frac{2\sqrt{10}}{3}\,2^{3/2}.
Lembro que 2^{3/2}=2\sqrt{2} (pois 2^{3/2}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}). Então
\frac{2\sqrt{10}}{3}\,2^{3/2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{10}\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{20}}{3}.
E \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}, logo
\frac{4\sqrt{20}}{3}=\frac{4\cdot 2\sqrt{5}}{3}=\frac{8\sqrt{5}}{3}.
  • Em x=0, ambos os termos valem zero, então F(0)=0.
Portanto
F(2)-F(0)=2\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{5}}{3}.

Passo 7

Podemos escrever a resposta final tal como obtivemos. Se quiser, fatoramos 2 para ver outra forma:
2\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{5}}{3}=2\!\left(\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{5}}{3}\right),
mas a forma mais direta e já simplificada é a somatória dos dois termos com radicais.

Resposta

\displaystyle 2\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{5}}{3}

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