Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
\int \frac{2 x-1}{x^{2}+3 x-4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2x-1}{x^{2}+3x-4}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é uma função racional, com numerador 2x-1 e denominador x^{2}+3x-4.
  • Não há outros dados (como limites); é uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • O objetivo final é encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}+3x-4}.

Passo 2

Escolhendo um método e fatorando o denominador (parte ensinada): para integrar frações racionais como esta, um método básico e eficiente é decompor em frações simples (partial fractions) sempre que o denominador puder ser fatorado em fatores lineares. Vamos factorar o denominador x^{2}+3x-4.
Calcule o discriminante para encontrar as raízes da equação quadrática x^{2}+3x-4=0:
\Delta = 3^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25.
As raízes são
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2},
portanto as raízes são x=1 e x=-4. Logo podemos fatorar o polinômio como produto de fatores lineares:
x^{2}+3x-4=(x-1)(x+4).

Passo 3

Montagem da decomposição em frações parciais: como o denominador tem apenas fatores lineares distintos, existe uma decomposição da forma
\frac{2x-1}{(x-1)(x+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+4},
onde A e B são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+4) obtemos a identidade polinomial
2x-1 = A(x+4) + B(x-1).
Desenvolvendo o lado direito:
2x-1 = (A+B)x + (4A - B).

Passo 4

Igualando coeficientes do polinômio (método padrão): compare os coeficientes de x e os termos constantes à esquerda e à direita da identidade.
Coeficiente de x:
A + B = 2.
Termo constante:
4A - B = -1.
Agora resolvemos o sistema linear para A e B. Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição) é conveniente fazer substituição: de A+B=2 segue A=2-B. Substituindo em 4A-B=-1,
4(2-B)-B = -1 \quad\Rightarrow\quad 8 -4B - B = -1 \quad\Rightarrow\quad 8-5B=-1.
Logo
5B = 9 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{9}{5}.
E então
A = 2 - B = 2 - \frac{9}{5} = \frac{10}{5}-\frac{9}{5} = \frac{1}{5}.
Observação: se preferir, dá para verificar rapidamente substituindo A=\tfrac{1}{5} e B=\tfrac{9}{5} na identidade original (fará sentido porque os coeficientes coincidem).

Passo 5

Reescrevendo a integranda e integrando termo a termo: com os valores encontrados,
\frac{2x-1}{x^{2}+3x-4} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4} = \frac{1/5}{x-1} + \frac{9/5}{x+4}.
Portanto a integral se separa em duas integrais simples:
\int \frac{2x-1}{x^{2}+3x-4}\,dx = \int \frac{1/5}{x-1}\,dx + \int \frac{9/5}{x+4}\,dx.
Lembrete da fórmula usada: para qualquer constante k e qualquer a,
\int \frac{k}{x-a}\,dx = k\ln|x-a| + C,
porque \dfrac{d}{dx}\ln|x-a| = \dfrac{1}{x-a}. Aplicando isso:
\int \frac{1/5}{x-1}\,dx = \frac{1}{5}\ln|x-1| + C_{1},
\int \frac{9/5}{x+4}\,dx = \frac{9}{5}\ln|x+4| + C_{2}.
Somando e juntando as constantes em uma só C, obtemos
\int \frac{2x-1}{x^{2}+3x-4}\,dx = \frac{1}{5}\ln|x-1| + \frac{9}{5}\ln|x+4| + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se dá a integranda original,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{9}{5}\ln|x+4|+\frac{1}{5}\ln|x-1|\right) = \frac{9}{5}\cdot\frac{1}{x+4}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{x-1} = \frac{9(x-1)+1(x+4)}{5(x+4)(x-1)}
= \frac{9x-9+x+4}{5(x+4)(x-1)}=\frac{10x-5}{5(x+4)(x-1)}=\frac{2x-1}{(x-1)(x+4)},
que é exatamente a integranda. Assim a solução está correta.

Resposta

\frac{9}{5}\ln|x+4|+\frac{1}{5}\ln|x-1|+C

Exercícios relacionados