Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A integranda é uma função racional, com numerador
e denominador . - Não há outros dados (como limites); é uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
. - O objetivo final é encontrar uma expressão
tal que .
Passo 2
Escolhendo um método e fatorando o denominador (parte ensinada): para integrar frações racionais como esta, um método básico e eficiente é decompor em frações simples (partial fractions) sempre que o denominador puder ser fatorado em fatores lineares. Vamos factorar o denominador
.
Calcule o discriminante para encontrar as raízes da equação quadrática
:
As raízes são
portanto as raízes são
e
. Logo podemos fatorar o polinômio como produto de fatores lineares:
Passo 3
Montagem da decomposição em frações parciais: como o denominador tem apenas fatores lineares distintos, existe uma decomposição da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Desenvolvendo o lado direito:
Passo 4
Igualando coeficientes do polinômio (método padrão): compare os coeficientes de
e os termos constantes à esquerda e à direita da identidade.
Coeficiente de
:
Termo constante:
Agora resolvemos o sistema linear para
e
. Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição) é conveniente fazer substituição: de
segue
. Substituindo em
,
Logo
E então
Observação: se preferir, dá para verificar rapidamente substituindo
e
na identidade original (fará sentido porque os coeficientes coincidem).
Passo 5
Reescrevendo a integranda e integrando termo a termo: com os valores encontrados,
Portanto a integral se separa em duas integrais simples:
Lembrete da fórmula usada: para qualquer constante
e qualquer
,
porque
. Aplicando isso:
Somando e juntando as constantes em uma só
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se dá a integranda original,
que é exatamente a integranda. Assim a solução está correta.