Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
\int \frac{3 x^{3}-1}{x^{2}+x-6} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3x^{3}-1}{x^{2}+x-6}\,dx.
Informações dadas:
\text{numerador: }3x^{3}-1,\qquad \text{denominador: }x^{2}+x-6.
Queremos uma primitiva (fórmula antiderivada) da função racional indicada.

Passo 2

Primeiro observe que o grau do numerador ( 3) é maior que o grau do denominador ( 2). Quando isso acontece, fazemos divisão polinomial para escrever a função como uma soma de um polinômio (fácil de integrar) mais uma fração cujo numerador tem grau menor que o do denominador. Vou dividir
3x^{3}-1 \div (x^{2}+x-6).
Faço a divisão passo a passo: o primeiro termo do quociente é 3x, porque 3x\cdot x^{2}=3x^{3}. Multiplico e subtraio:
3x^{3}-0x^{2}+0x - \big(3x^{3}+3x^{2}-18x\big) = -3x^{2}+18x.
Trago o termo -1 e continuo: agora -3x^{2}+18x-1. O próximo termo do quociente é -3, porque -3\cdot x^{2}=-3x^{2}. Multiplico e subtraio:
-3x^{2}+18x-1 - \big(-3x^{2}-3x+18\big) = 21x-19.
Logo o quociente é 3x-3 e o resto é 21x-19. Assim
\frac{3x^{3}-1}{x^{2}+x-6} = 3x-3 + \frac{21x-19}{x^{2}+x-6}.

Passo 3

A integral fica então separada em duas partes:
\int \frac{3x^{3}-1}{x^{2}+x-6}\,dx = \int (3x-3)\,dx + \int \frac{21x-19}{x^{2}+x-6}\,dx.
A primeira é direta (aplico a regra do poder). A segunda precisa que eu decomponha a fração parcial porque agora o numerador tem grau menor que o denominador.

Passo 4

Integro a parte polinomial usando a regra \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C e linearidade:
\int (3x-3)\,dx = 3\int x\,dx -3\int 1\,dx = 3\cdot\frac{x^{2}}{2} -3x = \frac{3}{2}x^{2}-3x.

Passo 5

Fatoro o denominador da fração restante. O polinômio quadrático x^{2}+x-6 fatoriza porque x^{2}+x-6=(x-2)(x+3) (verificando: (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6). Então procuro constantes A e B tais que
\frac{21x-19}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+3) obtenho
21x-19 = A(x+3) + B(x-2).

Passo 6

Para encontrar A e B uso valores convenientes de x. Tomo x=2:
21\cdot 2 -19 = A(2+3) + B\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad 42-19 = 5A \quad\Rightarrow\quad 23 = 5A,
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A = \frac{23}{5}.
Agora tomo x=-3:
21(-3)-19 = A\cdot 0 + B(-3-2) \quad\Rightarrow\quad -63-19 = -5B \quad\Rightarrow\quad -82 = -5B,
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B = \frac{82}{5}.
Portanto
\frac{21x-19}{x^{2}+x-6} = \frac{23/5}{x-2} + \frac{82/5}{x+3}.

Passo 7

Agora integro cada termo usando \int \dfrac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C e linearidade:
\int \frac{21x-19}{x^{2}+x-6}\,dx = \frac{23}{5}\int \frac{1}{x-2}\,dx + \frac{82}{5}\int \frac{1}{x+3}\,dx.
Assim
\int \frac{21x-19}{x^{2}+x-6}\,dx = \frac{23}{5}\ln|x-2| + \frac{82}{5}\ln|x+3|.
Lembre que sempre colocamos valor absoluto dentro do logaritmo para assegurar que o argumento seja positivo quando aplicável.

Passo 8

Junto todas as partes (polinomial + fração parcial) e adiciono a constante de integração C:
\int \frac{3x^{3}-1}{x^{2}+x-6}\,dx = \frac{3}{2}x^{2}-3x + \frac{23}{5}\ln|x-2| + \frac{82}{5}\ln|x+3| + C.

Resposta

\frac{3}{2}x^{2}-3x + \frac{23}{5}\ln|x-2| + \frac{82}{5}\ln|x+3| + C

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