Nos itens abaixo, calcular as integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Queremos uma primitiva (fórmula antiderivada) da função racional indicada.
Passo 2
Primeiro observe que o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
). Quando isso acontece, fazemos divisão polinomial para escrever a função como uma soma de um polinômio (fácil de integrar) mais uma fração cujo numerador tem grau menor que o do denominador. Vou dividir
Faço a divisão passo a passo: o primeiro termo do quociente é
, porque
. Multiplico e subtraio:
Trago o termo
e continuo: agora
. O próximo termo do quociente é
, porque
. Multiplico e subtraio:
Logo o quociente é
e o resto é
. Assim
Passo 3
A integral fica então separada em duas partes:
A primeira é direta (aplico a regra do poder). A segunda precisa que eu decomponha a fração parcial porque agora o numerador tem grau menor que o denominador.
Passo 4
Integro a parte polinomial usando a regra
e linearidade:
Passo 5
Fatoro o denominador da fração restante. O polinômio quadrático
fatoriza porque
(verificando:
). Então procuro constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtenho
Passo 6
Para encontrar
e
uso valores convenientes de
. Tomo
:
logo
Agora tomo
:
logo
Portanto
Passo 7
Agora integro cada termo usando
e linearidade:
Assim
Lembre que sempre colocamos valor absoluto dentro do logaritmo para assegurar que o argumento seja positivo quando aplicável.
Passo 8
Junto todas as partes (polinomial + fração parcial) e adiciono a constante de integração
: