Calcular as integrais :
integral cos x cos 5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos x,cos 5x,dx. Vamos usar identidades trigonométricas (produto para soma) e depois integrar funções do tipo cos(kx).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a identidade produto-para-soma:
cos A,cos B = cos(A-B)+cos(A+B)2
No nosso caso, A = x e B = 5x, então
cos x,cos 5x = cos(5x - x) + cos(5x + x)2 = cos 4x + cos 6x2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos a separação por linearidade:
integral cos x,cos 5x,dx = 12 integral cos 4x,dx + 12 integral cos 6x,dx

Passo 4

Agora integramos cada termo usando integral cos(kx),dx = tfrac1ksin(kx) + C:
integral cos 4x,dx = 14sin 4x,
integral cos 6x,dx = 16sin 6x

Passo 5

Multiplicando pelos fatores tfrac12 e somando, chega-se a:
12 cdot 14sin 4x + 12 cdot 16sin 6x + C = 18sin 4x + 112sin 6x + C

Resposta

integral cos x,cos 5x,dx = 18sin 4x + 112sin 6x + C

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