Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
f(x)=x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a função $ f(x) = x^{2} - 1 $. A gente vai esboçar o gráfico dessa função, determinar o domínio (todos os valores de $ x $ que a função aceita) e a imagem (todos os valores de $ f(x) $ que ela pode produzir). Além disso, vamos ver se a função é limitada, ou seja, se tem valores máximo ou mínimo, e se esses valores são globais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para $ f(x) = x^{2} - 1 $, não há nenhuma restrição especial, como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.
x í

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores de $ f(x) $. Como $ f(x) = x^{2} - 1 $, sabemos que $ x^{2} $ é sempre maior ou igual a zero para qualquer $ x $. Assim:
f(x)
Portanto:
f(x) = x^2 - 1
Isso significa que o menor valor que $ f(x) $ pode alcançar é $ -1 $, e a partir daí, os valores aumentam sem limite superior.
x^2

Passo 4

Vamos falar sobre limitação da função. Uma função é limitada se existe um valor que ela nunca ultrapassa. No caso de $ f(x) = x^{2} - 1 $:
  • Limitação inferior: Já vimos que $ f(x) \geq -1 $, então a função é limitada inferiormente.
  • Limitação superior: Como $ x^{2} $ pode crescer indefinidamente à medida que $ x $ aumenta ou diminui, $ f(x) $ também não tem um limite superior. Ou seja, a função não é limitada superiormente.

Passo 5

Por último, vamos ver se a função tem máximos ou mínimos globais. Um mínimo global é o menor valor que a função atinge em todo o seu domínio.
Sabemos que $ f(x) \geq -1 $ e esse valor é alcançado quando $ x = 0 $:
f(x) >= -1
Então, a função tem um mínimo global em $ x = 0 $ com $ f(0) = -1 $. Não há máximo global, já que a função cresce sem limite.

Resposta

Domínio: & Df = R Ima>=m: & If = y in R mid y >= -1 Limitações: & Limitada inferiormente & Não é limitada superiormente Extremos Globais: & Possui mínimo global em (0, -1) & Não possui máximo global íçõãéíãá

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