5- (7,0) Considere a função f(x, y)=e^y raizx y.
(a) Determine as derivadas parciais de f em relação a x e a y.
(b) Determine a derivada difecional de f no ponto P=(1,1), na direção do vetor v=i-j.
© Determine uma equação para o plano tangente à superfície de f no ponto T=(-2,0)
Boa Prova!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função $ f(x, y) = e^{y} \sqrt{x y} $ e abordar três partes: encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, determinar a derivada direcional no ponto $ P=(1,1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $, e finalmente, encontrar a equação do plano tangente à superfície de $ f $ no ponto $ T=(-2,0) $. Para isso, vamos precisar entender derivadas parciais, derivadas direcionais e cálculo de planos tangentes.

Passo 2

Parte (a): Determinar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Elas indicam como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. Ou seja, a derivada parcial em relação a $ x $ mostra a taxa de variação de $ f $ quando $ x $ varia e $ y $ fica fixo, e vice-versa.
Nossa função é $ f(x, y) = e^{y} \sqrt{x y} $. Vamos reescrever para facilitar a diferenciação:
f
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Derivada parcial em relação a $ x $:
Tratamos $ y $ como uma constante. Então,
x
Simplificando:
y

Passo 4

Derivada parcial em relação a $ y $:
Agora, tratamos $ x $ como uma constante. Temos:
y
Explicando: usamos a regra do produto para derivar $ e^{y} $ e $ \sqrt{x y} $.
Simplificando:
x

Passo 5

Parte (b): Determinar a derivada direcional de $ f $ no ponto $ P=(1,1) $, na direção do vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $.
A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular, usamos a fórmula:
f
Onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.

Passo 6

Primeiro, encontramos o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ P=(1,1) $:
nabla f
Usando as derivadas que encontramos na parte (a):
Para $ x=1 $ e $ y=1 $:
P=(1,1)
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então,
x=1

Passo 7

Agora, normalizamos o vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $ para obter $ \vec{u} $:
v = i - j
Então,
u

Passo 8

Finalmente, calculamos a derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u = ( e2 cdot 1raiz2 ) + ( 3e2 cdot -1raiz2 ) = e2raiz2 - 3e2raiz2 = -2e2raiz2 = -eraiz2

Passo 9

Parte ©: Determinar uma equação para o plano tangente à superfície de $ f $ no ponto $ T=(-2,0) $.
Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
f
Onde $ (a,b) $ é o ponto de tangência e $ f_x $, $ f_y $ são as derivadas parciais avaliadas nesse ponto.

Passo 10

Primeiro, calculamos $ f(-2,0) $:
f(-2,0)
Agora, encontramos as derivadas parciais em $ (-2,0) $:
f(-2,0) = e^0 raiz-2 cdot 0 = 1 cdot 0 = 0
Aqui percebemos que $ \sqrt{-2 \cdot 0} = 0 $, e temos uma divisão por zero, o que indica que a derivada parcial em relação a $ x $ não está definida nesse ponto.
Da mesma forma para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
(-2,0)
Portanto, no ponto $ T=(-2,0) $, as derivadas parciais não estão definidas, o que significa que não podemos determinar um plano tangente nesse ponto usualmente.

Resposta

(a) As derivadas parciais de $ f $ são:
f
partial fpartial x = e^y cdot y2 raizx y
(b) A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P=(1,1) $ na direção de $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $ é:
partial fpartial y = e^y raizx y + e^y cdot x2 raizx y
© No ponto $ T=(-2,0) $, as derivadas parciais não estão definidas, portanto não é possível determinar um plano tangente nesse ponto.

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