5-
Considere a função
.
(a) Determine as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
(b) Determine a derivada difecional de
no ponto
, na direção do vetor
.
© Determine uma equação para o plano tangente à superfície de
no ponto
Boa Prova!
(a) Determine as derivadas parciais de
(b) Determine a derivada difecional de
© Determine uma equação para o plano tangente à superfície de
Boa Prova!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função $ f(x, y) = e^{y} \sqrt{x y} $ e abordar três partes: encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $, determinar a derivada direcional no ponto $ P=(1,1) $ na direção do vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $, e finalmente, encontrar a equação do plano tangente à superfície de $ f $ no ponto $ T=(-2,0) $. Para isso, vamos precisar entender derivadas parciais, derivadas direcionais e cálculo de planos tangentes.
Passo 2
Parte (a): Determinar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Elas indicam como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante. Ou seja, a derivada parcial em relação a $ x $ mostra a taxa de variação de $ f $ quando $ x $ varia e $ y $ fica fixo, e vice-versa.
Nossa função é $ f(x, y) = e^{y} \sqrt{x y} $. Vamos reescrever para facilitar a diferenciação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Derivada parcial em relação a $ x $:
Tratamos $ y $ como uma constante. Então,
Simplificando:
Passo 4
Derivada parcial em relação a $ y $:
Agora, tratamos $ x $ como uma constante. Temos:
Explicando: usamos a regra do produto para derivar $ e^{y} $ e $ \sqrt{x y} $.
Simplificando:
Passo 5
Parte (b): Determinar a derivada direcional de $ f $ no ponto $ P=(1,1) $, na direção do vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $.
A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular, usamos a fórmula:
Onde $ \nabla f $ é o gradiente de $ f $ e $ \vec{u} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{v} $.
Passo 6
Primeiro, encontramos o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ P=(1,1) $:
Usando as derivadas que encontramos na parte (a):
Para $ x=1 $ e $ y=1 $:
Então,
Passo 7
Agora, normalizamos o vetor $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $ para obter $ \vec{u} $:
Então,
Passo 8
Finalmente, calculamos a derivada direcional:
Passo 9
Parte ©: Determinar uma equação para o plano tangente à superfície de $ f $ no ponto $ T=(-2,0) $.
Para encontrar o plano tangente, usamos a fórmula:
Onde $ (a,b) $ é o ponto de tangência e $ f_x $, $ f_y $ são as derivadas parciais avaliadas nesse ponto.
Passo 10
Primeiro, calculamos $ f(-2,0) $:
Agora, encontramos as derivadas parciais em $ (-2,0) $:
Aqui percebemos que $ \sqrt{-2 \cdot 0} = 0 $, e temos uma divisão por zero, o que indica que a derivada parcial em relação a $ x $ não está definida nesse ponto.
Da mesma forma para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Portanto, no ponto $ T=(-2,0) $, as derivadas parciais não estão definidas, o que significa que não podemos determinar um plano tangente nesse ponto usualmente.
Resposta
(a) As derivadas parciais de $ f $ são:
(b) A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P=(1,1) $ na direção de $ \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} $ é:
© No ponto $ T=(-2,0) $, as derivadas parciais não estão definidas, portanto não é possível determinar um plano tangente nesse ponto.