Calcular as integrais :
integral cotg^3 4 x cossec^3 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cot^3(4x),csc^3(4x),dx. O assunto aqui é integrar funções trigonométricas com potências ímpares, e vamos usar substituição via escrita em seno e cosseno.

Passo 2

Agora vamos reescrever o integrando em termos de seno e cosseno. Sabemos que cot(4x)=cos(4x)sin(4x) e csc(4x)=1sin(4x). Então
cot^3(4x),csc^3(4x) = cos^3(4x)sin^6(4x)

Passo 3

Escolhemos a substituição u=sin(4x). Diferenciando, temos
du = 4cos(4x),dx
ou seja
cos(4x),dx = du4

Passo 4

Substituindo na integral, fica
integral cos^3(4x)sin^6(4x),dx = integral (1 - u^2),cos(4x),dxu^6 = integral 1 - u^2u^6cdot du4 = 14integral l(u^-6 - u^-4r),du
Integrando em u, obtemos
14l(u^-5-5 - u^-3-3r) + C = -120u^-5 + 112u^-3 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original u=sin(4x) e usamos csc(x)=sin^-1(x) para escrever potências negativas de sin em termos de csc.

Resposta

-tfrac120csc^5(4x) + tfrac112csc^3(4x) + C

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