Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral0^pi / 2(raizt-3 cos (t)) d t

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral0^pi/2(raizt-3cos t),dt usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos encontrar uma antiderivada da função f(t)=raizt-3cos t.

Passo 2

Começando por raizt, que é t^1/2. Pela regra integral t^n,dt=t^n+1n+1, a primitiva de t^1/2 é 23t^3/2.
Agora para -3cos t: como integralcos t,dt=sin t, temos integral -3cos t,dt=-3sin t.
Logo, uma antiderivada comum para f(t) é
F(t)=23t^3/2-3sin t

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a pi/2 é
Fl(tfracpi2r)-F(0)

Passo 4

Vamos avaliar os extremos. Primeiro,
F(0)=23cdot0^3/2-3sin0=0
E como sin(tfracpi2)=1,
Fl(tfracpi2r)=23l(pi2r)^3/2-3cdot1=pi^3/23raiz2-3

Passo 5

Finalmente, subtraindo F(0) de F(pi/2) a gente chega ao valor da integral.

Resposta

pi^3/23raiz2-3

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