Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral dada.
integral0^pi / 4 1+cos ^2(theta)cos ^2(theta) d theta

Passo 1

Resumindo: precisamos calcular a integral
integral0^pi/4 1+cos^2thetacos^2theta,dtheta
O conteúdo envolve decomposição de funções trigonométricas, cálculo de primitivas e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, simplifico o integrando usando identidade trigonométrica:
1+cos^2thetacos^2theta = 1cos^2theta + cos^2thetacos^2theta = sec^2theta + 1

Passo 3

Em seguida, determino a primitiva de sec^2theta + 1. Sabendo que integral sec^2theta,dtheta = tantheta e integral 1,dtheta = theta, a antiderivada é:
F(theta) = tantheta + theta + C

Passo 4

Por fim, aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar entre 0 e pi/4:
integral0^pi/4 1+cos^2thetacos^2theta,dtheta = Fl(tfracpi4r) - F(0) = l(tantfracpi4 + tfracpi4r) - (tan 0 + 0) = 1 + tfracpi4

Resposta

1 + tfracpi4

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