Esboce o gráfico das funções abaixo determinando seu domínio e (quando possível) sua imagem. Feito isso, diga se são limitadas (superiormente ou inferiormente) e se possuem máximos ou mínimos (globais).
Passo 1
Temos uma função definida por partes, conteúdo de funções definidas por trechos e comportamento de exponenciais. A meta é determinar domínio, imagem, esboçar o gráfico, verificar se é limitada e se tem extremos. A função é:
Para isso usaremos propriedades de limites de exponenciais, definição de imagem e conceitos de máximos e mínimos.
Passo 2
Domínio: cada ramo cobre as regiões x<−1, x∈[−1,1] e x>1, que juntas formam todos os reais. Logo dom(f)=R.
Passo 3
Imagem: analisamos cada parte
Para x<−1: temos limxto-inftye^-x=+infty e limxto-1^-e^-x=e, então f(x) varia em (e,infty).
Para x\in[−1,1]: f(x)=1e, gerando o conjunto tfrac1e.
Para x>1: limxto1^+e^x=e e limxtoinftye^x=+infty, gerando o intervalo (e,infty).
Portanto a imagem é tfrac1ecup (e,infty).
Passo 4
Esboço do gráfico: para x<−1 temos um ramo exponencial decrescente de +∞ (quando x→−∞) até valores próximos a e (não atinge em x=−1); em [−1,1] temos uma reta horizontal em f=1/e; para x>1 há um ramo exponencial crescente de valores próximos a e (não atinge em x=1) até +∞. Há saltos em x=−1 (de e para 1/e) e em x=1 (de 1/e para e).
Passo 5
A função assume sempre valores ≥1/e, logo é limitada inferiormente. O menor valor é f=1/e, atingido para todo x∈[−1,1], sendo mínimo global. Não há limite superior (f→+∞) e, portanto, não existe máximo global.
Resposta
Domínio: R. Imagem: tfrac1ecup (e,infty). A função é limitada inferiormente, não é limitada superiormente, tem mínimo global f=1/e em todo x∈[−1,1] e não possui máximo global.