Calcular as integrais :
integral cotg^4(2 x) d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integral cot^4(2x),dx. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas, então vamos usar a identidade cot^2 u +1=csc^2 u e técnicas de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a identidade cot^2 u=csc^2 u-1 com u=2x. Assim temos:
cot^4(2x)=l(cot^2(2x)r)^2=l(csc^2(2x)-1r)^2=csc^4(2x)-2,csc^2(2x)+1
Isso transforma a integral em soma de termos mais fáceis.

Passo 3

Agora reescrevemos a integral como
integralcot^4(2x),dx=integrall(csc^4(2x)-2,csc^2(2x)+1r)dx =integralcsc^4(2x),dx;- 2integralcsc^2(2x),dx+integral1,dx
Sabemos de cara que
integralcsc^2(2x),dx=-tfrac12cot(2x),
e
integral1,dx=x

Passo 4

Falta então integralcsc^4(2x),dx. Para isso, usamos a substituição
u=cot(2x), dv=dx; Rightarrow;du=-2csc^2(2x),dx
Escrevendo csc^4(2x)=csc^2(2x)l(1+cot^2(2x)r) e trocando em termos de u:
integralcsc^4(2x),dx=integralcsc^2(2x),dx+integralcsc^2(2x)cot^2(2x),dx =-tfrac12integral du-tfrac12integral u^2,du =-tfrac12u-tfracu^36+C =-tfrac12cot(2x)-tfrac16cot^3(2x)+C

Passo 5

Agora juntamos tudo:
integralcot^4(2x),dx =l(-tfrac12cot(2x)-tfrac16cot^3(2x)r) -2l(-tfrac12cot(2x)r)+x+C
Simplificando -tfrac12cot+cot=+tfrac12cot, obtemos a resposta final.

Resposta

x+tfrac12cot(2x)-tfrac16cot^3(2x)+C

Exercícios relacionados