Calcular as integrais :
integral sen^3(4 x) d x

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular integral sin^3(4x),dx. O conteúdo envolve integrais de potências ímpares de seno, usando identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Usamos a identidade sin^2theta = 1 - cos^2theta. Logo, sin^3(4x) = sin(4x)l(1 - cos^2(4x)r) e a integral fica integral sin(4x)l(1 - cos^2(4x)r)dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u = cos(4x), de onde du = -4sin(4x),dx e, portanto, sin(4x),dx = -tfrac14,du.

Passo 4

Ao aplicar a substituição, obtemos
integral sin^3(4x),dx = -tfrac14integral (1 - u^2),du = -tfrac14l(u - tfracu^33r) + C

Passo 5

Voltando a x, temos u = cos(4x) e assim
-tfrac14l(cos(4x) - tfraccos^3(4x)3r) + C = -tfraccos(4x)4 + tfraccos^3(4x)12 + C,
que pode ser escrito como tfraccos^3(4x) - 3cos(4x)12 + C.

Resposta

cos^3(4x) - 3cos(4x)12 + C

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