Seja z=f(x, y) uma função dada implicitamente pela relação:
y z+x ln z-1=0
Calcule partial z(1,0)partial x.

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que está definida de forma implícita pela equação:
z = f(x, y)
Hoje, vamos usar derivadas parciais e a técnica de diferenciação implícita para encontrar y z + x ln z - 1 = 0 no ponto partial zpartial x.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que z é uma função de x e y. A equação original é:
y z + x ln z - 1 = 0
Diferenciando termo a termo em relação a x:
partialpartial x(y z) + partialpartial x(x ln z) - partialpartial x(1) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  1. partialpartial x(y z) = y partial zpartial x, já que y é constante em relação a x.
  2. partialpartial x(x ln z) = ln z + x cdot 1z partial zpartial x usando a regra do produto e a derivada de ln z.
  3. partialpartial x(1) = 0.
Substituindo na equação:
y partial zpartial x + ln z + x cdot 1z partial zpartial x = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x:
( y + xz ) partial zpartial x + ln z = 0
Isolando partial zpartial x:
partial zpartial x = -ln zy + xz

Passo 5

Precisamos calcular partial zpartial x no ponto (1, 0). Primeiro, encontramos z quando x = 1 e y = 0.
Substituindo na equação original:
0 cdot z + 1 cdot ln z - 1 = 0 Rightarrow ln z = 1 Rightarrow z = e^1 = e

Passo 6

Agora, substituímos x = 1, y = 0 e z = e na expressão para partial zpartial x:
partial zpartial x = -ln e0 + 1e = -11e = -e

Resposta

partial z(1,0)partial x = -e

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