Seja
uma função dada implicitamente pela relação:
Calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ z = f(x, y) $ que está definida de forma implícita pela equação:
Hoje, vamos usar derivadas parciais e a técnica de diferenciação implícita para encontrar
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
. A equação original é:
Diferenciando termo a termo em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
-
, já que é constante em relação a . -
usando a regra do produto e a derivada de . -
.
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 5
Precisamos calcular
no ponto
. Primeiro, encontramos
quando
e
.
Substituindo na equação original:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na expressão para
: