Considere a função f dada abaixo:
f(x)=ll x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é diferenciável no ponto (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de continuidade, limites e derivadas parciais. Vamos por partes para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto (0,0). A continuidade é importante porque, se a função não for contínua nesse ponto, ela já não pode ser diferenciável lá.

Passo 3

Vamos analisar o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de (0,0). A função é dada por:
f(x, y)
Queremos saber se:
(x, y)
Vamos usar uma técnica chamada desigualdade triangular para simplificar. Observe que:
f(x,y) = x^3x^2 + y^2
Como $ |x| $ tende a 0 quando $ x $ tende a 0, concluímos que o limite é 0. Portanto, a função é contínua em (0,0).

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função no ponto (0,0). As derivadas parciais nos dizem como a função muda em cada direção.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
x
E a derivada parcial em relação a $ y $:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h - 0h = 1

Passo 5

Ter as derivadas parciais é bom, mas para a função ser diferenciável em (0,0), essas derivadas precisam ser contínuas nesse ponto. Vamos verificar isso.
Calculando $ f_x(x,y) $ para $ (x,y) \neq (0,0) $:
fx(x,y)
Quando $ (x,y) $ se aproxima de (0,0), $ f_x(x,y) $ tende a 0. Mas, lembrando que $ f_x(0,0) = 1 $, vemos que há uma discontinuidade na derivada parcial em $ x $ no ponto (0,0).

Passo 6

Como a derivada parcial em $ x $ não é contínua em (0,0), isso significa que a função não é diferenciável nesse ponto. A continuidade das derivadas parciais é uma condição necessária para a diferenciabilidade.

Resposta

Não, a função $ f $ não é diferenciável em $ (0,0) $.

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